指数分布优化器(EDO)(含MATLAB代码)

先做一个声明：文章是由我的个人公众号中的推送直接复制粘贴而来，因此对智能优化算法感兴趣的朋友，可关注我的个人公众号：启发式算法讨论。我会不定期在公众号里分享不同的智能优化算法，经典的，或者是近几年提出的新型智能优化算法，并附MATLAB代码。

“今天给大家推送的也是2023年提出的一种新算法，发表在AIRE上，这个期刊目前影响因子12，还是很有含金量。就这个算法效果而言，我觉得还可以，并且它框架也简单~

另外，这个算法基于指数分布理论，没有什么好看的图，更多的是数学公式，学起来可能有点枯燥~”

该研究提出了一种新的基于种群的元启发式算法，称为指数分布优化器(Exponential Distribution Optimizer, EDO)。EDO的主要灵感来自于数学中的指数概率分布模型。EDO算法包括了开发策略和勘探策略。利用CEC2014、CEC2017、CEC2020和CEC2022等测试套件以及6个工程设计问题将EDO算法与L-SHADE、LSHADE-cnEpSin和AGSK进行了比较。EDO得到了更理想的结果，并且统计分析在95%的置信区间上证明了EDO的优越性。它的原始参考文献如下：

“Abdel-Basset M, El-Shahat D, Jameel M, et al. Exponential distribution optimizer (EDO): a novel math-inspired algorithm for global optimization and engineering problems[J]. Artificial Intelligence Review, 2023: 1-72.”

01
预备知识

指数分布理论是EDO算法的灵感来源。

指数分布是一种连续分布，常用于描述各种自然现象。例如，从现在到地震袭击的等待时间呈指数分布。此外，车辆到达收费站的概率随时间呈指数分布。假设有一个指数随机变量x，参数为λ，可以写成x∼EXP(λ)。该随机变量的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)可表示为：

其中，x表示在事件发生前的等待时间。时间是连续的，不能是一个负值，即x≥0。此外，参数λ>0是指数分布的速率。利用该公式可计算得到指数累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)：

图1显示了衰减参数λ对指数PDF的影响，使用相同的x值和四个不同的λ值(0.25、0.5、0.75和1)。曲线从λ值开始，并逐渐下降。因此，指数分布总是一个关于PDF的递减函数。指数率的值越大，相关的指数随机变量的PDF值就越小。图2展现了使用不同的λ值的CDF曲线的情况。它是一个递增函数，从指数速率开始，CDF随指数随机变量的增加而增加。

图1 不同λ值对应的PDF

图2 不同λ值对应的指数CDF

指数分布随机变量的均值(μ)和方差(σ^2)可以表示为：

从前面的方程中，可以认为参数λ的值与均值和方差值成反比，反之亦然。换句话说，λ值越大，均值和方差值就越小。那么，标准差(σ)与均值相等，可计算如下：

如果只想了解算法的计算流程，可以不看这一节的。这一节就是介绍一下指数分布模型，知不知道都不怎么影响。不是数学专业的同学，可以了解一下。

02
算法设计

为了便于大家理解，介绍算法时就直接抬出公式和流程，就不过多讨论作者的设计思路和出发点了(哎呀，动机、思路、出发点这些都是写给审稿人看的，能自圆其说就行的，了解来也没啥用，知道算法怎么计算的就行了)。与往期推送一样，这部分内容在Word文档里先写好，然后做成图片，最后导入。

03
计算流程

EDO算法的计算流程伪代码如下(公式序号对应上文)：

04
实验仿真

这里对EDO算法的性能进行简单的测试。首先将EDO用于函数寻优，算法的MATLAB程序是严格按照它的原始参考文献进行编码的。此外，种群规模取N等于50，Benchmark函数分别采用了CEC2005测试集、CEC2013测试集、CEC2014测试集、CEC2017测试集、CEC2020优化函数测试集和CEC2022优化函数测试集。仅对仿真结果进行简要展示，不再进一步分析。
首先，检验一下EDO对全局勘探和局部开发的平衡能力。不知道我在说啥的，看一下之前的这一期推送：
种群的勘探(Exploration)与开发(Exploitation)(含MATLAB代码)

如图3所示，是EDO在CEC2005测试函数f7上的勘探和开发占比曲线。

图3 EDO在CEC2005 f7上的勘探和开发百分占比变化曲线

其次，利用CEC2005测试集验证EDO的性能，这里选择今年很火热的蜣螂优化(DBO)算法进行对比(为了对比的公平，两种算法的种群大小设置为30，最大迭代次数为200)。对比结果如下所示：

EDO Vs DBO

可以看到，EDO的竞争力还是很可观的，在一些函数上收敛曲线突然不见了，是因为已经收敛到理论最优值0了。我使用的是semilogy来绘制的收敛曲线，而semilogy画的是y轴的对数，因此，若曲线收敛到0，semilogy是画不出来的。那么，EDO在绝大部分的函数上，用了不到两百次迭代就收敛到了最优值。在CEC2005的大部分函数上，相比于DBO，EDO算法更简单，收敛速度更快，且收敛精度更高。对EDO算法，我本人还是比较推荐的，简单易实现，并且没有调参，不涉及需要用户改动的参数。

再次，以CEC2013测试集中的单峰函数F1为例，展示EDO在30维环境下的收敛效果，如图4所示。(注意是画的误差曲线)

图4 EDO在CEC2013 F1上的误差收敛曲线

接着，以CEC2014测试集中的多模态函数F14为例，展示EDO在30维环境下的收敛效果，如图5所示。(注意是画的误差曲线)

图5 EDO在CEC2014 F14上的误差收敛曲线

再然后，以CEC2017测试集中的多模态函数F4为例，展示EDO在30维环境下的收敛效果，如图6所示。(注意是画的误差曲线)

图6 EDO在CEC2017 F4上的误差收敛曲线

在此之后，以CEC2020优化函数测试集中的单峰函数F2为例，展示EDO在10维环境下的收敛效果，如图7所示。(注意是画的误差曲线)

图7 EDO在CEC2020优化函数F2上的误差收敛曲线

最后，以CEC2022优化函数测试集中的单峰函数F1为例，展示EDO在10维环境下的收敛效果，如图8所示。(注意是画的误差曲线)

图8 EDO在CEC2022优化函数F1上的误差收敛曲线

进一步，可将EDO应用于复杂工程约束优化问题，例如之前推送的两期算法应用内容：

算法应用：基于DBO算法的工程优化设计(第1期)(含MATLAB代码)

算法应用：工程优化设计(第2期)(含MATLAB代码)

这里以行星轮系设计优化问题(Planetary gear train design optimization problem)为例，展示EDO求解效果。该问题的主要目标是使汽车齿轮传动比的最大误差最小化，如图9所示。为了使最大误差最小化，计算了自动行星传动系统的总齿数。

图9 行星轮系设计优化问题(Planetary gear train design)

该问题包含6个整数变量和11个不同的几何约束和装配约束(10个不等式约束，1个等式约束)。这个问题可以定义如下：

采用罚函数处理约束条件，然后利用EDO算法进行求解，最优值和最优解如下所示。目标函数的收敛曲线如图10所示。

图10 EDO在行星轮系设计问题上的目标函数收敛曲线

05
MATLAB代码

EDO算法对应的MATLAB代码链接如下：

EDO跑CEC2005测试集	公众号里有链接
EDO跑CEC2013测试集	公众号里有链接
EDO跑CEC2014测试集	公众号里有链接
EDO跑CEC2017测试集	公众号里有链接
EDO跑CEC2020优化函数测试集	公众号里有链接
EDO跑CEC2022优化函数测试集	公众号里有链接
EDO的勘探(Exploration)和开发(Exploitation)占比分析	公众号里有链接
EDO的工程应用(第1期)：压力容器设计、滚动轴承设计、拉伸/压缩弹簧设计、悬臂梁设计、轮系设计、三杆桁架设计	公众号里有链接
EDO的工程应用(第2期)：焊接梁设计、多盘离合器制动器设计问题、步进圆锥滑轮问题、减速机设计问题、行星轮系设计优化问题、机器人夹持器问题	公众号里有链接