Andrew算法求凸包模板

前置知识

向量的叉乘: 设 $\vec a=(x_a,y_a,z_a), \vec b=(x_b, y_b,z_b)$ , 令 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的叉乘为 $\vec c$ , 有:
$\vec c=\begin{vmatrix} i & j & k\\ x_a & y_a & z_a\\ x_b & y_b & z_b \end{vmatrix}=(y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b)$
几何意义: $|\vec c|=|\vec a×\vec b|=|\vec a| |\vec b|sin\theta$ ( $\theta$ 为 $\vec a$ ， $\vec b$ 向量之间的夹角), 即 $|\vec c|$ 等于 $\vec a$ , $\vec b$ 向量构成的平行四边形的面积.
另外 $\vec c$ 的方向可以用右手螺旋定则判定: 先将 $\vec a$ 和 $\vec b$ 移动到同一起点, 右手四指从 $\vec a$ 方向朝掌心方向旋转到 $\vec b$ 方向, 则拇指所指方向, 即为结果向量的方向.
在这里插入图片描述

PIP 问题

理解了上述的叉乘的知识, 我们就可以解决PIP这个经典问题的一个子集: 判断一个点是否在一个凸多边形内部. 判断算法的一个伪代码如下:

设 $p_0,\cdots,p_{n-1}$ 为凸多边形边界上的点按逆时针方向遍历形成的一个排列, $x$ 为待判断的点
for $i$ in $\{0,\cdots,n-1\}$
$\;\;\;\;$ 若 $(\overrightarrow{p_ip_{(i+1)\%n}} \times \overrightarrow{p_{(i+1)\%n}x})\cdot (0,0,1)<0$ , 则 $x$ 不在多边形内部
$x$ 在多边形内部(包括边界上)

求凸包

上面提到的伪代码需要凸多边形边界上的点的一个逆时针的排列, 但如过这个排列没有给出, 这时候就可以用Andrew凸包算法来求这样的一个排列, Andrew算法大致思想如下:

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是「左拐」的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。

下面贴一个Andrew算法的模板

inline pair<int, int> vec_ab(pair<int, int> a, pair<int, int> b) {return {b.first - a.first, b.second - a.second};
}inline int cross_prod(pair<int, int> a, pair<int, int> b) {return a.first * b.second - a.second * b.first;
}const int maxn = 2e5 + 5;
pair<int, int> p[maxn], h[maxn];
int stk[maxn];
int used[maxn];int main() {
// stk[] 是整型，存的是下标int n;int tp=0 // 初始化栈//读入pstd::sort(p + 1, p + n + 1);  // 对点进行排序stk[++tp] = 1;
// 栈内添加第一个元素，且不更新 used，使得 1 在最后封闭凸包时也对单调栈更新for (int i = 2; i <= n; ++i) {while (tp >= 2 && cross_prod(vec_ab(p[stk[tp - 1]], p[stk[tp]]), vec_ab(p[stk[tp]], p[i])) < 0)//凸包边上的点不算在结果数组内(否则用<0)used[stk[tp--]] = 0;used[i] = 1;  // used 表示在凸壳上stk[++tp] = i;}int tmp = tp;  // tmp 表示下凸壳大小for (int i = n - 1; i > 0; --i)if (!used[i]) {// ↓求上凸壳时不影响下凸壳while (tp > tmp && cross_prod(vec_ab(p[stk[tp - 1]], p[stk[tp]]), vec_ab(p[stk[tp]], p[i])) < 0)//凸包边上的点不算在结果数组内(否则用<0)used[stk[tp--]] = 0;used[i] = 1;stk[++tp] = i;}for (int i = 1; i < tp; ++i)  // 复制到新数组中去h[i] = p[stk[i]];int ans = tp - 1; // ans为凸包边上节点数