[题]欧拉函数 #欧拉函数

欧拉函数

AcWing 873. 欧拉函数

一、用公式求

定义：1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
怎么求呢？？
有一个公式：
N = p₁^a1 X p₂^a2 X p₃^a3……X p_k^ak ;
ϕ(N) = N(1 - 1/p₁) X N(1 - 1/p₂) X N(1 - 1/p₃) ……X N(1 - 1/p_k)；
例子：
N= 6 = 2 X 3；
ϕ(N) = 6 X （1 - 1/2）X (1 - 1/3) = 2
证明：容斥原理。
1 ~ n 中n的质因子有 p₁^a1 X p₂^a2 X p₃^a3……X p_k^ak ;
1.从1~ n中去掉 p₁^a1、 p₂^a2 、 p₃^a3……、 p_k^ak 的倍数。
=>N - N / p₁ - N / p₂ - N / p₃ …… N / p_k
2.把所有重复减去的倍数加上。=> + N/(p_i X p_j…)
3.减去所有p_ip_j…p_k的倍数……
……
4.以此类推，得到ϕ(N) = N(1 - 1/p₁) X N(1 - 1/p₂) X N(1 - 1/p₃) ……X N(1 - 1/p_k)；

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;cin >> n;while(n --){int a;cin >> a;int res = a;for(int i = 2; i <= a / i; i ++)if(a % i == 0){res = res / i * (i - 1);while (a % i == 0) a /= i;}if(a > 1)res = res / a * (a - 1);cout << res << endl;}return 0;
}

二、线性筛法求欧拉函数

AcWing 874. 筛法求欧拉函数

O(n) : 线性筛法模板，可以求出来很多东西。
线性筛法模板：


ll get_eulers(int n){for(int i = 2; i <= n;i ++){if(!st[i])//如果没被筛去，说明是质数primes[cnt ++] = i;//将质数入队for(int j = 0 ; primes[j] <= n / i;j ++){//干掉i的倍数st[primes[j] * i] = 1;if(i % primes[j] == 0)break;}}
}

再进行更改：

ll get_eulers(int n){phi[1] = 1;//1当中与1互质的只有1自己for(int i = 2; i <= n;i ++){if(!st[i]){primes[cnt ++] = i;phi[i] = i - 1;//如果一个数i是质数，那么它的欧拉函数值应该是 i-1}for(int j = 0 ; primes[j] <= n / i;j ++){st[primes[j] * i] = 1;if(i % primes[j] == 0){phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];/*i % primes[j] == 0时， primes[j]是i的一个质因子 phi[i * primes[j]]只是比phi[i]多了一个primes[j]而已，primes[j]是i的一个质因子，所以phi[i]里面已经有一个（1-1/pj）了，所以phi[primes[j] * i]是i的欧拉值乘上i的质因子primes[j]*/break;}phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);/*如果i % primes[j] ！= 0时， primes[j]是i的非质因子那么 phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i] * (1-(primes[j] - 1) / primes[j])即 phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);*//}}
}