正太分布核函数

正太分布概率密度推导:

I = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x I = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx I=+2π 1e2x2dx

则:
I 2 = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − y 2 2 d y I^2 = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy I2=+2π 1e2x2dx+2π 1e2y2dy

I 2 = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − y 2 2 d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − y 2 + x 2 2 d x d y = 1 2 π ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ ρ e − ρ 2 2 d ρ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π [ − e − ρ 2 2 ] ∣ 0 + ∞ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π d θ = 1 I^2 = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \\ \int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{y^2 + x^2}{2}} dx dy =\\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}d\rho d\theta = \\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} [- e^{-\frac{\rho^2}{2}} ] | _{0} ^{+\infty} d\theta = \\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta = 1 I2=+2π 1e2x2dx+2π 1e2y2dy=++2π1e2y2+x2dxdy=2π102π0+ρe2ρ2dρdθ=2π102π[e2ρ2]0+dθ=2π102πdθ=1

故 I = 1
且:
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 2 d x = 2 π \int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx =\sqrt{2\pi} +e2x2dx=2π

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