线性代数(七) 矩阵分析

前言

从性线变换我们得出,矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。

矩阵的序列

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通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性
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研究矩阵序列收敛性的常用方法,是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。

长度是范数的一个特例。事实上,Frobenius范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时,就是把这三条性质作为公理来定义内积的
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收敛矩阵

在矩阵序列中,最常见的是由一个方阵的幂构成的序列,关于这样的矩阵序列有如下概念和收敛定理:
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r(A)是谱半径是一个矩阵的特征值绝对值中的最大值,用于描述矩阵的特征值的尺度大小。

矩阵级数

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矩阵幂级数

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  1. 根据幂级数收敛半径定理求出收敛半径r
  2. 根据《常见向量范数和矩阵范数》将矩阵A量化,看否在收敛区间中

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  • a k = k = > r = lim ⁡ k → ∞ | a k + 1 a k | = | k + 1 k | = 1 a_k= k => r= \lim\limits_{k \to \infty} |\dfrac{a_{k+1}}{a_k}|=|\dfrac{{k+1}}{k}|= 1 ak=k=>r=klimakak+1=kk+1=1
  • 由范式2得到 p ( A ) = 5 6 p(A)=\dfrac{5}{6} p(A)=65

Neumann级数

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  • 注1:假设E-A不可逆,那么E-A有0特征值,A的特征值为1。而A的谱半径小于1,矛盾,故E-A可逆
  • 注2:A的谱半径小于1,由定理3可知A为收敛矩阵。那么 A k + 1 A^{k+1} Ak+1 就趋近于0(k趋于无穷)
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矩阵函数

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矩阵函数的计算

常用的有以下几种方法

待定系数法
  • 求矩阵A的特征多项式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I - A| λIA
  • 利用Hamilton-Cayley定理,求出A的一次性化零多项式 ψ ( A ) = 0 \psi(A)=0 ψ(A)=0在这里插入图片描述 - 求解 f ( A ) f(A) f(A)多项式在这里插入图片描述在这里插入图片描述
  • A = λ ,即 ψ ( A ) = f ( A ) A=\lambda, 即\psi(A)=f(A) A=λ,即ψ(A)=f(A)在这里插入图片描述
  • sin的导注是cos
  • e x e^x ex的导数是它本身的导数,因此, e ( 2 t ) 的导数是 2 e ( 2 t ) e^(2t) 的导数是 2e^(2t) e(2t)的导数是2e(2t)
利用相似对角化在这里插入图片描述
利用Jordan标准形在这里插入图片描述

主要参考

《常见向量范数和矩阵范数》
《矩阵分析》
《7.2.3幂级数收敛半径定理》
《矩阵序列与矩阵级数》
《矩阵函数的常见求法》

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