本文重点

在前面的课程中，我们学习了线性空间的基，其中有一个标准正交基的概念，假设现在有一个线性向量空间，然后已经确定了该线性空间的一组基，那么如何将其转变为标准正交基。本文将学习如何通过施密特正交化完成这个任务。

施密特正交化

施密特正交化（Schmidt Orthogonalization），也称为Gram-Schmidt正交化，是一种在欧氏空间中寻找正交基的重要方法。这种方法通过迭代的方式，将一组线性无关的向量转换为一组正交的向量，进而通过单位化得到标准正交向量组。具体过程如下：

【第一步】初始化：首先，从一组线性无关的向量组α1,α2​,…,αm​开始

【第二步】计算正交向量：对于每个向量αi​（i=1,2,…,m），通过以下步骤计算正交向量βi​：

当i=1时，直接令β1​=α1​
对于i>1，首先计算αi​在已得到的正交向量β1​,β2​,…,βi−1​上的投影，并从αi​中减去这些投影，得到与前面所有向量都正交的向量βi​。具体计算方式为：