【搜索回溯算法篇】：拓宽算法视野--BFS如何解决拓扑排序问题

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文章目录

一.广度优先搜索（BFS）解决拓扑排序
- 1.拓扑排序简介
- 2.解决拓扑排序的原理
二.例题
- 1.课程表
- 2.课程表||
- 3.火星词典

一.广度优先搜索（BFS）解决拓扑排序

1.拓扑排序简介

拓扑排序是对有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的顶点的一种排序，使得如果存在一条从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的有向边 $(u, v)$ ，那么在排序中 $u$ 出现在 $v$ 之前。它在许多实际应用场景中有重要作用，例如任务调度（每个任务有前置任务要求）、课程安排（先修课程的顺序安排）等。

2.解决拓扑排序的原理

入度的概念
- 对于有向图中的每个顶点，我们定义其入度为指向该顶点的边的数量。例如，在有向图中，如果顶点 $v$ 有三条边指向它，那么顶点 $v$ 的入度为3。
BFS - 基于入度的操作
- 首先，计算图中每个顶点的入度。
- 将所有入度为0的顶点放入队列中。这些顶点是可以作为拓扑排序的起始点，因为没有边指向它们，也就没有前置的依赖关系。
- 然后开始进行BFS：
  - 从队列中取出一个顶点 $u$ ，将其加入到拓扑排序的结果序列中。
  - 对于顶点 $u$ 的所有邻接顶点 $v$ ，将它们的入度减1（因为 $u$ 到 $v$ 的边被“处理”了，相当于减少了 $v$ 的一个入度来源）。
  - 如果某个邻接顶点 $v$ 的入度变为0，就将其加入队列。
- 重复上述步骤，直到队列为空。
正确性证明
- 由于我们首先选择入度为0的顶点加入队列，这些顶点没有前置依赖，可以首先出现在拓扑排序结果中。
- 当我们处理一个顶点并减少其邻接顶点的入度时，实际上是在逐步消除依赖关系。当一个顶点的入度变为0时，说明它之前的所有依赖都已经被处理过了，所以可以将其加入队列并放入拓扑排序结果中。
- 因为图是有向无环图，所以这个过程最终会处理完所有顶点，得到正确的拓扑排序结果。

二.例题

1.课程表

题目：

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算法原理：

首先明白题意要求，给定一个二维数组，每一行中存储的是一对数字，比如示例一（1，0），表示学习课程1之前需要先学习课程0，用有向图表示就是0->1；要求判断给定的所有数字对是否能完成所有课程的学习；

本道题的重点就是如何使用拓扑排序来判断，但是在拓扑排序之前必须是有向图才可以拓扑排序，所以需要先根据给定的数组来建立有向图；建图通常借助两个哈希表或者数组来实现，一个用来表示指向关系，比如a->b；一个用来表示每个节点的入度个数；

在本道题中，因为课程是用数字来表示，正好对应下标，所以可以用数组来实现，这里我写的是用哈希表来表示指向关系，用数组来表示入度个数，具体可以看代码中的注释。

代码实现：

bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites){// 用哈希表来表示邻接表// key值表示一个节点，val表示一个数组，里面存放的是key值节点指向的下一个节点// key=0;val=[1,2,3];表示0指向1，2，3三个节点unordered_map<int, vector<int>> edges;//用数组来存放每个节点的入度,本道题中下标正好对应节点vector<int> in(numCourses);//建图for(auto& nums : prerequisites){//[a,b]表示b->a,在完成a之前先完成bint a = nums[0], b = nums[1];//b->a,存放b的下一个节点edges[b].push_back(a);//节点a入度+1in[a]++;}//将入度为0的入队queue<int> q;for (int i = 0; i < in.size(); i++){if(in[i]==0){q.push(i);}}//拓扑排序while(!q.empty()){//获取队头节点并出队int t = q.front();q.pop();//遍历当前下标对应的所有下一个节点，将对应的节点入度-1，表示删除指向的边for(auto num : edges[t]){in[num]--;//如果对应节点的入度为0，入队if(in[num]==0){q.push(num);}}}//遍历入度数组，如果出现某个节点的入度不为0说明存在环,不能遍历所有节点for (auto num : in){if(num==1){return false;}}return true;
}

2.课程表||

题目：

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算法原理：

本道题和上面一道题可以说是一模一样，只不过是如果可以完成所有的课程，就输出课程顺序，所以在上一道题的基础上在bfs实现拓扑排序时，只需要将每个出队的头节点存放到数组中即可，因为出队顺序就是拓扑排序的顺序。

代码实现：

vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites){//本道题是上一道的变形，具体过程一模一样//用哈希表表示邻接表，数组存放每个节点的入度unordered_map<int, vector<int>> edges;vector<int> in(numCourses);//建表for(auto& e : prerequisites){//b->aint a = e[0], b = e[1];edges[b].push_back(a);in[a]++;}//将所有入度为0的入队queue<int> q;for (int i = 0; i < in.size(); i++){if(in[i]==0){q.push(i);}}//建立一个数组用来返回最终的结果vector<int> ret;//拓扑排序，bfs实现while(!q.empty()){//获取队头节点并出队int t=q.front();q.pop();ret.push_back(t);//通过当前节点遍历所有指向的节点for(auto num : edges[t]){//修改指向的节点的入度in[num]--;//如果入度为0，入队if(in[num]==0){q.push(num);}}}//遍历入度数组，如果出现某个节点的入度不为0，说明存在环，返回空数组for(auto num : in){if(num!=0){ret.clear();return ret;}}return ret;
}

3.火星词典

题目：

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算法原理：

本道题其实也是根据拓扑排序的原理来解决，题意要求根据词典（words数组）来找到每个字母的先后顺序，然后返回正确的字母顺序；比如，示例一中的"wrt"和"wrf"因为前两个字母是一样的，而在第三个字母出现不同，但又因为"wrt"出现在"wrf"前面，所以字母"t"的顺序在字母"f"的前面，对应题意中的第一种情况；还有就是"abc"和"abcde"，因为第一个字符串的长度小于第二个字符串，但是前三个字符又正好相同，没有找到不相同的字符，如果是这种情况，输出的字母顺序那就是字母"de"的顺序在前，然后"abc"三个字母的顺序随便，因为无法判断出这三个字母的顺序；但是可能会出现这种情况第一个字符串是"abcde"而第二个字符串是"abc"，这种情况就是违反规则，直接返回空串即可。

所以实现过程还是先根据给定的信息建立有向图，然后拓扑排序，获取信息其实就是将给定的词典数组，两两字符串进行比较获取每个字母的顺序关系，根据上面的两种情况来获取信息。具体的过程注释可以看代码中写的。

代码实现：

string alienOrder(vector<string>& words){// 建立一个边哈希表，key值表示字符，val值表示哈希表用来存放该字符指向的所有字符// 因为查找该字符的指向字符时，可能会重复出现，所以内层哈希表用set型去重// 例：key=t;val=[d,c,a];表示t->d&&t->c&&t->a;unordered_map<char, unordered_set<char>> edges;//建立一个入度哈希表，用来存放每个字符的入度//key值表示字符，val值表示该字符对应的入度unordered_map<char, int> in;//先遍历整个词典，将所有出现的字符存放到入度哈希表中并将入度初始化为0，防止后面某些字符没有遍历到for(auto s : words){for(auto ch : s){if(in.count(ch)==0){in[ch] = 0;}}}//两层for循环遍历词典，建AOV图for (int i = 0; i < words.size(); i++){string s1 = words[i];for (int j = i + 1; j < words.size(); j++){string s2 = words[j];//两个指针，一个指向第一个字符串中的起始位置，一个指向第二个字符串的起始位置int cur1 = 0, cur2 = 0;while(cur1<s1.size()&&cur2<s2.size()){//如果两个指针指向对应字符串中的字符不相同，表示s1[cur1]->s2[cur2]//s1的字符指向s2的字符，s2的字符入度+1if(s1[cur1]!=s2[cur2]){//这里有一个细节，如果b->a重复出现，a字符的入度就会重复+1//所以要进行一个判断，如果b字符的哈希表中已经存在字符a，直接跳过if(edges[s1[cur1]].count(s2[cur2])==0){edges[s1[cur1]].insert(s2[cur2]);in[s2[cur2]]++;}//找到第一对不相同的字符就结束break;}else{cur1++;cur2++;}}// 如果两个字符串没有找到相同的字符，有两种情况// 1.s1=ab;s2=abc;不用处理// 2.s1=abc;s2=ab;直接返回空串，因为违反规则if(cur2==s2.size()&&cur1<s1.size()){return "";}}}//设置一个结果字符串用来存放字符的顺序string ret;//设置一个队列queue<char> q;//遍历入度哈希表将所有入度为0的字符入队for(auto& [ch,count] : in){if(count==0){q.push(ch);}}//bfs实现拓扑排序while(!q.empty()){//获取队头字符并出队char ch = q.front();q.pop();//结果字符串加上队头字符ret += ch;//找到该字符指向的所有字符，将指向的字符入度-1,表示删除指向的边for(auto& nextch : edges[ch]){in[nextch]--;//如果指向的字符入度减为0，将该字符入队if(in[nextch]==0){q.push(nextch);}}}//遍历入度哈希表，如果出现某个字符的入度不为0，说明顺序错误，不能将所有字符拓扑排序for(auto& [ch,count] : in){if(count!=0){//直接返回空串return "";}}return ret;
}