T2-简单 MST题解

题意

设$\omega (x)$为$x$的质因数所构成的集合大小；

给两个正整数$l$ $r$，图上有$r-l+1$个点，为
$$l,l+1,l+2,\cdots ,r-2,r-1,r$$
任意图上两点$x$ $y$之间的边权为$\omega [lcm(x,y)]$，求这张图的最小生成树的权值和。

思路

设$G(x)$为$x$的质因数所构成的集合。

很容易想到要首先连质数，即连$\omega (x)=1$的数，那么边权为$\omega (y)+1$或$\omega (y)$。

但是，除了和质数连边以外还有和$G(x)\subseteq G(y)$ 的点连边的边权为$\omega (y)$。

显然，暴力枚举$x$是不现实的，因此我们只需要求出和$y$最接近的满足上述条件的点就可以了，具体来说是在筛素数的过程中记录每个数的所有质因子的乘积，这样就可以$O(1)$判断是否满足。

最后，将所有点和对应上述点进行连边，跑一遍最小生成树即可，总体复杂度为$O(r\log r)$。