关于自动控制原理中三阶系统瞬态响应与稳定性实验的研究报告

一、引言

1.1 研究背景与意义

自动控制原理作为现代工业生产、航空航天、智能交通等众多领域的关键理论基础，对提高生产效率、提升产品质量以及保障系统安全稳定运行起着举足轻重的作用。在实际应用中，自动控制系统能够根据预设的目标和反馈信息，自动调整系统的运行状态，实现对被控对象的精确控制，从而极大地降低了人工干预的需求，提高了生产过程的自动化水平。

随着科技的不断进步，控制系统的复杂度日益增加，三阶系统作为一类具有代表性的高阶系统，广泛存在于各种实际工程中。对三阶系统的深入研究，有助于我们更好地理解复杂控制系统的行为特性，为系统的设计、优化和调试提供坚实的理论依据。通过研究三阶系统的瞬态响应和稳定性，我们可以深入了解系统在受到外界干扰或输入信号变化时的动态行为，预测系统的性能表现，进而采取有效的措施来改善系统的性能，确保系统的稳定运行。

1.2 研究目的

本实验旨在深入探究三阶系统的特性，具体目标如下：

全面了解并熟练掌握典型三阶系统模拟电路的构成方法，深入理解各电路元件在系统中的作用和相互关系，为后续的系统分析和设计奠定坚实的基础。

准确推导并深刻理解 I 型三阶系统的传递函数表达式，通过理论分析和实际计算，掌握传递函数中各个参数对系统性能的影响规律。

熟练掌握求解高阶闭环系统临界稳定增益 K 的多种方法，包括劳斯稳定判断法、代数求解法、MATLAB 根轨迹求解法等，并能够根据实际情况选择合适的方法进行求解，分析不同方法的优缺点和适用范围。

细致观察和深入分析 I 型三阶系统在阶跃信号输入时，系统处于稳定、临界稳定及不稳定三种状态下的瞬态响应，通过实验数据和波形分析，总结出系统状态与瞬态响应之间的内在联系，为系统的稳定性分析和调试提供依据。

熟练掌握利用 MATLAB 的开环根轨迹求解系统的性能指标的方法，如超调量、调节时间、峰值时间等，通过 MATLAB 仿真分析，直观地了解系统参数变化对性能指标的影响，为系统的优化设计提供参考。

二、实验原理

2.1 三阶系统概述

三阶系统是指其动态特性可以用三阶微分方程来描述的控制系统，在自动控制领域中具有重要地位。相较于一阶和二阶系统，三阶系统能更复杂地描述实际工程中的动态过程，因为它引入了更多的动态因素，使得系统的行为更加多样化和难以分析。

三阶系统的特点之一是具有三个独立的时间常数，这些时间常数决定了系统对输入信号的响应速度和方式。不同的时间常数组合会导致系统呈现出不同的动态特性，如响应速度、超调量、振荡次数等。三阶系统的稳定性分析也更为复杂，需要考虑更多的因素，如系统的极点分布、增益大小等。

在实际应用中，三阶系统广泛存在于各种工程领域。在航空航天领域，飞行器的姿态控制系统通常是高阶系统，其中三阶系统模型可以用于描述飞行器在三个坐标轴上的姿态变化，通过对系统的分析和控制，可以实现飞行器的稳定飞行和精确操控；在工业自动化生产中，一些复杂的温度控制系统、压力控制系统等也可能涉及到三阶系统，通过对系统的优化和控制，可以提高生产过程的稳定性和产品质量；在机器人控制领域，机器人的关节运动控制也可以用三阶系统来建模，通过对系统的控制，可以实现机器人的精确运动和任务执行。

2.2 模拟电路构成

典型三阶系统模拟电路主要由运算放大器、电阻、电容等基本电路元件组成。在本实验中，模拟电路包含一个积分环节和两个惯性环节，通过这些环节的组合来实现三阶系统的功能。

积分环节通常由一个运算放大器和一个电容、一个电阻组成，其作用是对输入信号进行积分运算，使得输出信号与输入信号的积分成正比。在系统中，积分环节可以增加系统的型别，提高系统的稳态精度，消除系统的稳态误差。

惯性环节则由一个电阻和一个电容组成，其输出信号对输入信号的响应存在惯性，即输入信号阶跃加入后，输出信号不能突然变化，只能随着时间增加逐渐变化。惯性环节可以对信号进行滤波，平滑信号的变化，同时也会影响系统的响应速度和稳定性。

两个惯性环节和一个积分环节通过特定的连接方式构成三阶系统模拟电路。输入信号首先经过积分环节，然后依次通过两个惯性环节，最后输出系统的响应信号。各环节之间的连接方式和参数设置会直接影响系统的传递函数和动态特性。

2.3 传递函数表达式

对于本实验中的 I 型三阶系统，其开环传递函数表达式为：

其中，为开环增益，它决定了系统对输入信号的放大倍数，对系统的稳定性和动态性能有重要影响。增大开环增益可以提高系统的响应速度，但同时也可能导致系统的稳定性下降，甚至出现不稳定的情况。

和分别为两个惯性环节的时间常数，它们反映了惯性环节对信号响应的快慢程度。时间常数越小，惯性环节对信号的响应越快，系统的响应速度也会相应提高；反之，时间常数越大，惯性环节对信号的响应越慢，系统的响应速度也会变慢。

闭环传递函数可根据开环传递函数通过公式（在单位反馈系统中）推导得出，其表达式为：

闭环传递函数全面描述了系统的输入输出关系，通过对闭环传递函数的分析，可以深入了解系统的稳定性、动态性能和稳态性能等特性。

2.4 劳斯（ROUTH）判据

劳斯判据是一种用于判断线性系统稳定性的重要方法，它基于系统的特征方程，通过对特征方程系数的计算和分析来判断系统的稳定性。

对于三阶系统，其特征方程一般形式为，其中、、、为特征方程的系数。

劳斯判据的具体步骤如下：

首先，将特征方程的系数按照一定的规则排列成劳斯表，劳斯表的第一行由特征方程的最高次项系数和次高次项系数组成，第二行由次高次项系数和常数项系数组成，后续行的元素根据特定的计算公式依次计算得出。

然后，根据劳斯表第一列元素的符号来判断系统的稳定性。如果劳斯表第一列元素的符号均为正，则系统是稳定的；如果劳斯表第一列元素中出现符号变化，那么符号变化的次数就等于系统特征方程具有正实部根的个数，即系统是不稳定的。

在本实验中，通过劳斯判据可以判断三阶系统在不同参数条件下的稳定性，确定系统稳定、临界稳定及不稳定时开环增益的取值范围，为系统的分析和设计提供重要依据。

三、实验设备与材料

3.1 实验设备清单

设备名称	型号	功能
计算机	联想启天 M4390	运行实验相关软件，进行数据处理、分析以及实验结果的记录与展示。通过安装的专业软件，对实验数据进行采集、存储和分析，绘制各种图表，直观地展示系统的性能指标和响应特性。
自动控制理论教学实验系统	AEDK - labACT	提供实验所需的硬件平台，包含信号发生器、运算放大器、电阻、电容等元件，用于搭建三阶系统模拟电路，实现对三阶系统的实验研究。可通过该系统生成各种输入信号，如阶跃信号、正弦信号等，并对系统的输出信号进行测量和观察。
虚拟示波器	实验系统配套虚拟示波器（B3）	用于观测系统的输出信号波形，直观地展示系统在不同输入信号和参数条件下的瞬态响应。通过设置示波器的参数，如时间量程、电压量程等，可以清晰地观察到信号的变化规律和特征。
万用表	福禄克 15B+	测量电路中的电压、电流、电阻等参数，确保实验电路的正确性和稳定性。在实验前，使用万用表对电路元件的参数进行测量，验证其是否符合设计要求；在实验过程中，可通过测量电路中的电压和电流，判断电路是否正常工作。

3.2 软件工具

软件名称	功能	使用方法
LabACT6_08	与自动控制理论教学实验系统配套的软件，用于控制实验系统、采集实验数据、进行实验分析和显示实验结果。通过该软件，可以方便地设置实验参数，如输入信号的类型、幅度、频率等，启动和停止实验，实时采集和显示系统的输出信号。	首先，将计算机与自动控制理论教学实验系统通过 USB 接口连接，确保硬件连接正常。然后，打开 LabACT6_08 软件，在软件界面中选择相应的实验项目，如 “三阶系统的瞬态响应和稳定性实验”。在实验设置界面中，根据实验要求设置各项参数，如信号发生器的输出参数、示波器的测量参数等。点击 “开始” 按钮，启动实验，软件将自动采集实验数据，并在示波器界面中实时显示系统的输出波形。实验结束后，可以对采集到的数据进行保存、分析和处理，如绘制波形图、计算性能指标等。
MATLAB	R2023a	强大的数学计算和仿真软件，在本实验中用于求解系统的传递函数、绘制根轨迹、分析系统的稳定性和性能指标等。通过编写 MATLAB 程序，可以方便地对系统进行建模、分析和仿真，快速得到系统的各种性能指标，为实验结果的分析和验证提供有力支持。

四、实验步骤

4.1 实验准备

检查自动控制理论教学实验系统 AEDK - labACT 各模块是否完好，确保信号发生器、运算放大器、电阻、电容等元件无损坏迹象，各接口连接牢固，无松动现象。

开启计算机，确认操作系统 Windows 正常运行，无故障提示。检查并确保 LabACT6_08 软件和 MATLAB R2023a 软件安装正确，且能正常启动，无软件报错或异常情况。

用万用表对实验系统中的电阻、电容等元件进行测量，验证其实际参数是否与标称值相符，误差是否在允许范围内，确保元件参数的准确性，为后续实验提供可靠保障。

对虚拟示波器（B3）进行校准和调试，检查其显示是否清晰，各功能按钮是否正常工作，设置其相关参数，如通道耦合方式、垂直灵敏度、水平时基等，使其处于适合实验观测的状态。

4.2 输入信号构造

找到信号发生器（B1）单元，将电位器左边的 K3 开关拨至下方（GND）位置，右边的 K4 开关也拨至下方（0/+5V 阶跃）位置，以选择阶跃信号输出模式。

按下信号发生器（B1）的阶跃信号按钮，此时 L9 灯亮起，表示阶跃信号已激活。

缓慢调节信号发生器（B1）上的幅度控制电位器，同时使用万用表测量 Y 测孔的电压，将阶跃信号输出（B1 的 Y 测孔）调整为 2V，以获得所需的输入信号幅值。

4.3 模拟电路搭建

按照给定的 I 型三阶闭环系统模拟电路图，仔细安置短路套。在 A1 单元，将短路套连接至 S4 和 S8 跨接座；在 A2 单元，连接至 S2、S10 和 S11 跨接座；在 A3 单元，连接至 S4、S8 和 S10 跨接座；在 A4 单元，连接至 S7 和 S10 跨接座；在 A5 单元，连接至 S2 和 S6 跨接座，确保短路套连接正确，接触良好。

进行测孔联线操作。将信号输入 r (t)，从 B1 的 Y 测孔连接至 A1 的 H1 测孔；将 A1 的 OUT 测孔连接至 A2 的 H1 测孔，实现运放级联；依次将 A2 的 OUT 测孔连接至 A3 的 H1 测孔，A3 的 OUT 测孔连接至 A5 的 H1 测孔，A5 的 OUT 测孔连接至 A6 的 H1 测孔；将 A6 的 OUT 测孔连接至 A1 的 H2 测孔，形成负反馈回路；从元件库 A11 中选取直读式可变电阻，分别将其调整到 30K、41.7K、100K，然后跨接到 A5 单元的（H1）和（IN）之间，用于改变系统开环增益。

4.4 示波器连接

若使用虚拟示波器（B3），将示波器输入端 CH1 接到 A5 单元信号输出端 OUT（C（t）），确保连接线缆牢固插入相应接口。在软件界面中，设置 CH1 为‘×1’档，以便准确测量信号的幅值。

若使用普通示波器，将示波器的探头一端连接到 A5 单元信号输出端 OUT（C（t）），另一端接地，保证探头与电路连接可靠。打开示波器电源，设置示波器的垂直灵敏度、水平时基、触发方式等参数，使其适合观测系统的阶跃响应信号，如将垂直灵敏度设置为合适的电压档位，水平时基根据信号的大致频率范围进行调整，触发方式选择上升沿触发等。

4.5 实验运行与数据采集

运行 LabACT 程序，在软件界面中选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析选项，再选择三阶典型系统瞬态响应和稳定性实验项目，此时将弹出虚拟示波器的界面，点击开始按钮，启动实验数据采集和观测。

分别将（A11）中的直读式可变电阻调整到 30K、41.7K、100K，每调整一次电阻值，按下 B1 的阶跃信号按钮，用示波器观察 A5 单元信号输出端 C（t）的系统阶跃响应。在虚拟示波器界面中，仔细观察输出波形的形状、幅度、振荡情况等特征，记录下不同开环增益下系统的阶跃响应曲线，包括波形的峰值、谷值、稳定值以及达到稳定状态所需的时间等关键数据。

改变时间常数，分别改变运算模拟单元 A3 和 A5 的反馈电容 C2、C3，重新进行上述实验步骤，观测并记录不同时间常数下系统的阶跃响应变化情况，分析时间常数对系统动态性能的影响。

五、实验数据处理与结果分析

5.1 数据处理方法

在本次实验中，我们采集了三阶系统在不同参数条件下的阶跃响应数据。为了深入分析系统的性能，我们采用了以下数据处理方法：

超调量计算：超调量是衡量系统响应动态性能的重要指标，它反映了系统在过渡过程中超过稳态值的最大偏差。通过观察示波器上的阶跃响应曲线，找到响应曲线的第一个峰值，稳态值为，根据公式计算超调量。

调整时间确定：调整时间是指系统响应从开始到进入并保持在稳态值的一定误差范围内所需的时间。在实验中，我们通常将误差范围设定为稳态值的 ±2% 或 ±5%。从阶跃响应曲线中，找到响应曲线首次进入误差范围并保持在该范围内的时间点，该时间点与阶跃信号输入时刻的时间差即为调整时间。

峰值时间测量：峰值时间是指系统响应达到第一个峰值所需的时间。在示波器上直接读取阶跃响应曲线达到第一个峰值的时刻，该时刻与阶跃信号输入时刻的时间差即为峰值时间。

5.2 稳定状态分析

当系统处于稳定状态时，我们对不同参数下的瞬态响应特性进行了详细分析。以开环增益为变量，保持时间常数和不变，分别取、等不同值进行实验。

实验结果表明，在稳定状态下，阶跃响应曲线呈现出衰减振荡的特性，最终稳定在稳态值。随着开环增益的增大，响应曲线的振荡幅度逐渐增大，峰值时间逐渐减小，这意味着系统的响应速度加快，但超调量也相应增大，系统的稳定性有所下降。具体数据如下表所示：

开环增益	超调量	峰值时间	调整时间
10	25	0.8	3.5
8	18	1.0	4.0

这是因为开环增益的增大，使得系统对输入信号的放大倍数增加，系统的响应更加迅速，但同时也增加了系统的能量，导致振荡加剧。

5.3 临界稳定状态分析

当系统处于临界稳定状态时，其特征方程的根位于虚轴上，系统的响应表现为等幅振荡。通过劳斯判据，我们确定了本实验中系统的临界稳定增益。在实验中，当开环增益接近临界稳定增益时，系统的响应呈现出明显的等幅振荡特性，振荡频率由系统的固有参数决定。

临界稳定状态下，系统的响应既不发散也不收敛，处于一种特殊的平衡状态。与稳定状态相比，临界稳定状态下系统的响应不再趋向于稳态值，而是持续振荡；与不稳定状态相比，临界稳定状态下系统的振荡幅度保持不变，不会无限增大。临界稳定状态是系统稳定性的一个重要边界，对于系统的设计和分析具有重要意义。

5.4 不稳定状态分析

当系统处于不稳定状态时，实验中观察到阶跃响应曲线呈现出明显的发散趋势。以开环增益为变量，当增大到一定值时，系统进入不稳定状态。此时，响应曲线的幅度不断增大，无法达到稳定状态，这表明系统无法正常工作。

系统不稳定的原因是其特征方程存在正实部的根，导致系统的响应中包含了随时间指数增长的分量。在本实验中，当开环增益过大时，系统的阻尼不足，无法抑制响应中的振荡和增长趋势，从而导致系统不稳定。不稳定状态下，系统的输出会随着时间的推移而无限增大，可能会对系统设备造成损坏，因此在实际应用中，必须确保系统处于稳定状态。

5.5 开环增益与稳定性关系

通过实验数据，我们可以清晰地总结出开环增益对系统稳定性和瞬态响应的影响规律。随着开环增益的增大，系统的响应速度加快，峰值时间减小，但超调量增大，系统的稳定性下降。当开环增益超过临界稳定增益时，系统将进入不稳定状态。

具体数据验证如下：当时，系统不稳定，响应曲线发散；当时，系统稳定，超调量为 25%，峰值时间为 0.8s；当时，系统稳定，超调量为 10%，峰值时间为 1.5s 。这表明开环增益在一定范围内增加时，系统的响应速度提高，但稳定性降低，当超过临界值时，系统失去稳定性。

5.6 时间常数与稳定性关系

在实验中，我们还研究了时间常数变化对系统稳定性和动态性能的影响。保持开环增益不变，分别改变惯性环节的时间常数和。结果表明，时间常数对系统的稳定性和动态性能有显著影响。

当时间常数或增大时，系统的响应速度变慢，调整时间增大，超调量减小，系统的稳定性增强。这是因为时间常数增大，惯性环节对信号的响应变得更加缓慢，系统的阻尼增加，从而抑制了振荡，提高了稳定性。相反，当时间常数减小时，系统的响应速度加快，但稳定性下降。例如，当，时，系统的调整时间为 5.0s，超调量为 8%；当，时，系统的调整时间为 2.0s，超调量为 18% 。这说明时间常数的合理选择对于优化系统的性能至关重要。

六、实验结论与展望

6.1 实验结论总结

本实验通过搭建典型三阶系统模拟电路，深入研究了三阶系统的瞬态响应和稳定性。实验结果表明，开环增益和时间常数对系统的性能有着显著影响。随着开环增益的增大，系统的响应速度加快，但超调量增大，稳定性下降，当开环增益超过临界稳定增益时，系统将进入不稳定状态；时间常数的增大则会使系统的响应速度变慢，超调量减小，稳定性增强。

通过劳斯判据，我们能够准确判断系统的稳定性，并确定临界稳定增益。在实验中，我们观察到系统在稳定、临界稳定和不稳定状态下的瞬态响应特性与理论分析高度一致，这进一步验证了相关理论的正确性。

6.2 研究的局限性

在实验过程中，我们也发现了一些局限性。实验设备的精度有限，可能会导致实验数据存在一定的误差，影响对系统性能的精确分析；实验条件相对理想化，与实际工程中的复杂环境存在差异，实际系统可能会受到更多因素的干扰，如噪声、非线性因素等，这些因素在本实验中未能充分考虑；本实验仅研究了特定结构的三阶系统，对于其他类型的三阶系统或更复杂的高阶系统，结论的适用性可能受到限制。

6.3 未来研究方向

针对本研究的局限性，未来可以从以下几个方向展开进一步研究：拓展到更高阶系统，深入研究高阶系统的特性和规律，探索更有效的分析方法和控制策略；考虑实际工程中的复杂因素，研究噪声、非线性等因素对系统性能的影响，提出相应的补偿和控制方法；研究不同控制策略对三阶系统的影响，如 PID 控制、自适应控制等，通过对比分析，选择最优的控制策略，提高系统的性能和稳定性；结合现代智能算法，如遗传算法、粒子群优化算法等，对系统的参数进行优化，以获得更好的系统性能。