内容来源
应用随机过程（第五版）张波 商豪 邓军 编著
定义
随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn} 的下鞅，如果
对 n ⩾ 0 n\geqslant0 n⩾0， X n X_n Xn 是 Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n Y_0,Y_1,\cdots,Y_n Y0,Y1,⋯,Yn 的函数
且
E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩾ X n E ( X n + ) < ∞ , X n + = max { 0 , X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\geqslant X_n\\ E(X^+_n)<\infty,\ X^+_n=\max\{0,X_n\} E(Xn+1∣Y0,Y1,⋯,Yn)⩾XnE(Xn+)<∞, Xn+=max{0,Xn}
随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn} 的上鞅，如果
对 n ⩾ 0 n\geqslant0 n⩾0， X n X_n Xn 是 Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n Y_0,Y_1,\cdots,Y_n Y0,Y1,⋯,Yn 的函数
且
E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩽ X n E ( X n − ) < ∞ , X n − = max { 0 , − X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\leqslant X_n\\ E(X^-_n)<\infty,\ X^-_n=\max\{0,-X_n\} E(Xn+1∣Y0,Y1,⋯,Yn)⩽XnE(Xn−)<∞, Xn−=max{0,−Xn}
若 { X n } \{X_n\} {Xn} 兼为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn} 的下鞅与上鞅，则称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn} 的鞅
此时
E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) = X n E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)=X_n E(Xn+1∣Y0,Y1,⋯,Yn)=Xn
σ \sigma σ 代数的鞅
设 { F n } \{\mathscr{F}_n\} {Fn} 是一个 F \mathscr{F} F 中单调递增的子 σ \sigma σ 代数流
称随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 是关于 F n {\mathscr{F}_n} Fn 的鞅，如果
X n {X_n} Xn 是 F n {\mathscr{F}_n} Fn 适应的
E ( ∣ X n ∣ ) < ∞ E(|X_n|)<\infty E(∣Xn∣)<∞
并且 ∀ n > 0 \forall n>0 ∀n>0，有
E ( X n + 1 ∣ F n ) = X n E(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n E(Xn+1∣Fn)=Xn
适应列 { X n , F n } \{X_{n},\mathscr{F}_n\} {Xn,Fn} 称为下鞅，如果
E ( X n + ) < ∞ 且 E ( X n + 1 ∣ F n ) ⩾ X n E(X^+_n)<\infty且E(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geqslant X_n E(Xn+)<∞且E(Xn+1∣Fn)⩾Xn
上鞅定义类似
