03 MIT线性代数-矩阵乘法和逆矩阵Multiplication inverse matrices

1. 矩阵乘法 Matrix multiplication

我们通过四种方法讨论如何使矩阵AB相乘得到矩阵C。其中A为mxn(m行n列)矩阵,而B为nxp矩阵,则C为mxp矩阵,记cij为矩阵C中第i行第j列的元素

1.1 Regular way

矩阵乘法的标准计算方法是通过矩阵A第i行的行向量和矩阵第j列的列向量点积得到cij

eg.

1.2 Column way

列操作是指矩阵C的第j列是通过矩阵A乘以矩阵B第j列的列向量得到的。这表明矩阵C的列向量是矩阵A列向量的线性组合,组合的“权”就是矩阵B第j列的各个分量 

Column of C are combinations of columns of A

1.3 Row way

行操作是指矩阵C的第i行是通过矩阵A的第i行乘以矩阵B得到的。这表明矩阵C的行向量是矩阵B行向量的线性组合

Rows of C are combinations of rows of B

1.4 column of A × row of B

矩阵A的第k列是一个m1的向量,而矩阵B第k行是一个1p的向量,两向量相乘会得到一个矩阵Ck,将所有的n个矩阵相加记得到C

AB = sum of (cols of A) × (rows of B)

eg.

1.5 Block multiplication

C1=A1B1+A2B3

2. 逆矩阵 Inverse

如果矩阵A是方阵(square matrices),若存在逆矩阵 A^{-1},使得A^{-1}A=I=AA^{-1} (左逆矩阵等于右逆矩阵)。我们称矩阵A可逆(invertible)或者矩阵A非奇异(nonsingular)

反之,如果A为奇异(singular),则其没有逆矩阵。它的行列式为0。另一个等价的说法是,A为奇异阵,则方程Ax=0存在非零解

i can find a vector X\neq 0 with AX=0

eg:

在这个二阶矩阵的例子中,两个列向量排列在同一方向上。不可逆矩阵中总有列向量对生成线性组合没有贡献,等价的说法还有:不可逆矩阵的列向量可以通过线性组合得到0

3. 高斯-若尔当消元法 Gauss-Jordan Elimination

A × column j of A^{-1} = column j of I

Gauss-Jordan solves 2 equas at once

在用高斯消元法的到上三角矩阵之后,按照若尔当的做法继续消元,用第一行减去第二行的若干倍,最后原矩阵变为单位阵,这时右侧的矩阵即为逆矩阵

Gauss-Jordan Elimination

A进行一系列消元操作,相当于左乘消元矩阵E,此时消元的结果为EA=I,因为右侧矩阵也进行了同样消元操作,也等于左乘矩阵E,则右侧矩阵为EI=E。由EA=可知这里的E就是A的逆矩阵

E\left [ A | I \right ] = \left [I | A^{-1} \right ]

EA = I tells us E=A^{-1}

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