数据结构（8）线性表的应用——一元多项式的表示及应用

一、一元多项式的定义

一元多项式是代数学研究的基本对象之一，可以表示为：

P_n(x) = p_0 + p_1x + p_2xn

其中，p_0, p_1, ..., p_n 是数域 F 中的数，n 是非负整数，x 是变量。

二、一元多项式的线性表表示

在计算机中，为了节省存储空间和提高运算效率，通常会采用线性表来表示一元多项式。根据多项式的特点，线性表可以采用以下两种方式进行优化：

稀疏表示法：

当多项式中很多项的系数为0时，采用稀疏表示法可以节省存储空间。
具体实现方式：只存储非零项的系数和指数，形成一个（系数，指数）对的线性表。
例如，多项式 S(x) = 1 + 3x20000 可以表示为（(1,0), (3,10000), (-2,20000)）。

顺序存储和链式存储：

顺序存储：将多项式的各项系数和指数按顺序存储在一个数组中，但这种方法在多项式项数较多且大部分系数不为0时效率较低。
链式存储（链表）：使用链表来存储多项式的各项，每个节点包含一个（系数，指数）对，以及指向下一个节点的指针。这种方法在多项式项数不确定或需要频繁插入、删除操作时更为高效。

三、一元多项式的应用

多项式相加：

给定两个一元多项式，将它们相加得到一个新的多项式。
实现方法：遍历两个多项式的各项，按照指数大小进行合并，相同指数的项系数相加，不同指数的项则保留在新多项式中。

多项式相乘：

给定两个一元多项式，将它们相乘得到一个新的多项式。
实现方法：使用分配律进行相乘，即第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后合并同类项。

多项式求值：

给定一个一元多项式和一个具体的x值，计算多项式的值。
实现方法：遍历多项式的各项，按照指数和系数进行计算，最后得到多项式的值。

多项式的导数：

计算一元多项式的导数。
实现方法：根据导数的定义和多项式的各项系数及指数进行计算。

四、示例

假设有两个一元多项式 P(x) = 7x^3 - 2x^12 - 8x^999 和 Q(x) = 3x^2 + 5x^5。

多项式相加：

P(x) + Q(x) = (7x^3 - 2x^12 - 8x^999) + (3x^2 + 5x^5)
结果为：7x^3 + 3x^2 + 5x^5 - 2x^12 - 8x^999

多项式相乘：

P(x) * Q(x) = (7x^3 - 2x^12 - 8x^999) * (3x^2 + 5x^5)
展开后得到：21x8 - 6x17 - 24x1004