2021 NOIP 题解

21年的题有点难啊（除了T1），竟然没绿题，直接紫题+黑题。

T1 P7960 [NOIP2021] 报数

原题链接

这道题还是挺水的。

因为是多组询问，首先预处理出答案，然后 $O (1)$ 查询。

在 $O (l o g n)$ 时间内判断一个数是否含有7，其中 $n$ 是数值的范围。

用筛法对每个含有 $7$ 的数的倍数给标记，因为含有 $7$ 的数密度很小，这一步近似看成是 $O (n)$

然后倒着循环一遍，处理一下每个数的下一个被标记的数是哪个，预处理的总时间复杂度为 $O (n l o g n)$

$co d e$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read() {int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();return x * f;
}
const int N = 1e7 + 5;
bool flag[N];
int ans[N];
//根据题意判断是否有7
bool check(int x) {while (x) {if (x % 10 == 7) {return true;}x /= 10;}return false;
}
int main() {for (int i = 1; i <= (N - 4); i++) {//判断是否是7的倍数if (check(i)) {for (int j = i; j <= (N - 4); j += i) {flag[j] = 1;}}}int x = 0;for (int i = (N - 4); i >= 1; i--) {if (flag[i])ans[i] = -1;else {ans[i] = x;x = i;}}int T;T=read();while (T--) {int x;x=read();printf("%d\n", ans[x]);}return 0;
}

T2 P7961 [NOIP2021] 数列

原题链接

这道题就开始没啥思路了，整的人挺无语的。

后来看了题解，感觉这道题还是可以理解的，当时比赛打暴力获得 $45 pt s$ ，还可以，比爆零好点。

先来说下暴力思路：

先不考虑序列里具体每个位置填哪些数，而是考虑每种数在序列中出现了多少次：

设 $x_i$ 为序列中值为 $i$ 的数的个数，即要满足 $x_0+x_1+x_2+...+x_m=n$ 。

这个不定方程的一个1非负整数解，即为一种不考虑具体位置的方案，如果要求真正1的方案数，只需乘以对应的组合数即可。

具体来说，就是第一步从 $n$ 个位置里选 $x_0$ 个，第二步是从 $n-x_0$ 个位置里选 $x_1$ 个，以此类推，方案数就会乘以 $C_{n}^{x_{0}} C_{n-x_{0}}^{x_{1}} C_{n-x_{0}-x_{1}}^{x_{1}} \cdots C_{x_{m}}^{x_{m}}$

而这道题每种方案的贡献是 $v_{a1}*v_{a2}*...*v_{an}$ ，也就是还要再乘以 $\prod_{i=0}^{m} v_{i}^{x_{i}} \text { }$

这样可以首先预处理组合数以及每个 $v_i$ 的幂次，然后写一个爆搜把每个不定方程的解求出来1，最后检查 $1$ 的个数是否合法。
$45 pt s$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int read() {int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();return x * f;
}
const LL mod = 998244353;
const int N=40;
LL ans;
LL c[N][N];
LL a[105][40];
int n, m, K;
void dfs(int u, int x, LL now, LL s) {if (u == m + 1) {//__builtin_popcountll()函数非常好用，返回二进制中1的个数if (x == 0 && __builtin_popcountll(s) <= K){ans = (ans + now) % mod;}return;}for (int i = 0; i <= x; i++) {dfs(u + 1, x - i, now * c[x][i] % mod * a[u][i] % mod, s + ((LL)i << u));}
}
int main() {for (int i = 0; i <= 30; i++) {c[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++){c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;}}n=read(),m=read(),K=read();for (int i = 0; i <= m; i++) {int x;x=read();a[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {a[i][j] = a[i][j - 1] * x % mod;}}dfs(0, n, 1, 0);printf("%lld\n", ans);return 0;
}

接下来想想正解：

注意道在从小到大枚举 $x_i$ 的时候，可以把 $S=2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_n}$ 分成两部分：

$.$ 前面 $0\sim 1$ 位中一共出现了多少个 $1$
$.$ 当前有多少个位进位道 $i + 1$ 位

现在我们就能dp了，我们设 $f [u] [i] [j] [k]$ 表示考虑完 $\le u$ 的数的个数后，已经用了 $i$ 个数，进位为 $j$ ， $\sim u$ 位一共有 $k$ 个 $1$ 的总贡献。

最后 $d p$ 完将所有的贡献加起来就行了。

$co d e$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL mod = 998244353;
const int N = 40;LL c[N][N], a[105][N], f[105][N][N][N];
// f[u][i][j][k] 考虑完<=u的数的个数后，已经用了i个数，进位为j，0~u 位一共有k个1int main() {int n, m, K;for (int i = 0; i <= 30; i++) {c[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;}scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);for (int i = 0; i <= m; i++) {int x;scanf("%d", &x);a[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {a[i][j] = a[i][j - 1] * x % mod;}};f[0][0][0][0] = 1;for (int u = 0; u <= m; u++) {for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {for (int k = 0; k <= i; k++) {for (int x = 0; x <= n - i; x++) {f[u + 1][i + x][(j + x) / 2][k + (j + x) % 2] += f[u][i][j][k] * a[u][x] % mod * c[n - i][x] % mod;f[u + 1][i + x][(j + x) / 2][k + (j + x) % 2] %= mod;}}}}}LL ans = 0;for (int j = 0; j <= n; j++) {for (int k = 0; k <= n; k++) {if (__builtin_popcount(j) + k <= K) ans += f[m + 1][n][j][k];}}printf("%lld\n", ans % mod);return 0;
}

T3 P7962 [NOIP2021] 方差

原题链接

这道题有点难，考的偏数学（好像这几道题都跟数学有关）

来看暴力思路：

首先需要知道方差公式为平方的平均数减去平均数的平方。

这题突破口是把 $a_{i+1}+a_{i-1}-a_i->a_i$ 这个操作和差分联系起来,不然会觉得操作可以执行无限次,很难有一个最终的目标。

记差分数组 $d_i=a_i-a_{i-1}$ ,观察到对 $a_x$ 进行操作后,其差分仅 $d_x$ 和 $d_{x+1}$ 发生了改变,具体为:

$d_x = (a_{x+1} + a_{x-1} -a_x)-a_{x-1}= a_{x+1} - a_x = d_{x+1}$
$d_{x+1}=a_{x+1}-(a_{x+1}+a_{x-1}-a_x)=a_x -a_{x-1} = d_x$

可以发现一次操作仅仅是改变了相邻的两个差分,原数组的差分 $d_1$ 是固定不变的,除此之外的 $d_2\sim d_n$ 显然都可以随便换位置,也就一共有 $(n - 1)!$ 种可能,那么全排列一下能骗20分。

可以 $s h u ff l e$ 一些初始情况,然后每次随机交换两个数,检查一下是否方差更小,若不是则不交换,这样直到方差到极值为止。(前置知识)

这种方法可以骗到72分。

$72 pt s$

int a[N], d[N], n;
LL ans = INF;
LL cal() {for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = a[i - 1] + d[i];}LL now = 0, s1 = 0, s2 = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) s1 += a[i], s2 += a[i] * a[i];now = -s1 * s1 + s2 * n;return now;
}
int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), d[i] = a[i] - a[i - 1];
int wc = 2000;mt19937 g(114514);uniform_int_distribution<int> u1(2, n);//生成伪随机数while (wc--) {shuffle(d + 2, d + n + 1, g);int t = 0;LL now = INF;while (t < 300) {int x = u1(g), y = u1(g);if (x != y) {swap(d[x], d[y]);LL tmp = cal();if (tmp < now) {t = 0;now = tmp;} else {swap(d[x], d[y]);t++;}}}ans = min(ans, now);}cout << ans << endl;return 0;
}

等等再想正解

阿江又讲了种办法，感觉就是 $72 pt s$ 的简单版，就是去了生成随机数。加了全排列。并且 $72 pt s$ 的代码更加细节一点。

$28 pt s$

#include<bits/stdc++.h> 
const int N=11000;
using namespace std;
int n,a[N],b[N];
long long ans;
inline long long getvar() {long long sm=0,x=0,x2=0;for(int i=1; i<=n; ++i) {x+=sm,x2+=sm*sm;sm+=b[i];}return n*x2-x*x;
}
int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1; i<=n; ++i)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1; i<n; ++i)b[i]=a[i+1]-a[i];ans=getvar();while(next_permutation(b+1,b+n))ans=min(ans,getvar());printf("%lld",ans);return 0;
}

下面来想正解：

正解的话需要知道一个性质:方差最小时,d数组一定是先递减后递增。
也就是把差分数组从小到大排序后,考虑存在一个核心不停往左右两边扩展,一个个地安排每个 $d_i$ 的位置(放当前的最左边或者最右边),每次有两种选择,这样是可以DP的。

我们用 $f [i] [j]$ 表示考虑完前 $i$ 小的差分后,当前总和 $\sum a_i=j$ 时, $\sum a_i^2$ 的最小值。

·若把 $d_i$ 放到当前核心的右端,记 $t=\sum _{k=1}^i d_k$ ,新的 $a_i=t$ ,之前核心里的所有数都不会变化,转移为 $f [i] [j] = f [i - 1] [j - t] + t * t$

·若把 $d_i$ 放到当前核心的左端,这 $i$ 个数都加上了 $d_i$ (包括新加进去的 $a_i$ ,初始看成0),这样总和是加了 $i*d_i$ ,转移为 $f[i][j]=f[i-1][j-i*d_i]+2d_i(j-i*d_i)+i*d_i^2$

上述DP总状态数有 $n^2a$ 个,每个状态都是 $O (1)$ 转移,空间需要用滚动数组来优化。

$co d e$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL INF = 1e18;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int N = 10005;int a[N], d[N];
LL f[2][500005];int main() {int n;scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);int m = n - 1;for (int i = 1; i <= m; i++) {d[i] = a[i + 1] - a[i];}sort(d + 1, d + m + 1);int s = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) s += d[i] * i;int now = 0, u = 0;for (int j = 0; j <= s; j++) f[u][j] = INF;f[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {if (d[i] == 0) continue;u ^= 1;now += d[i];for (int j = 0; j <= s; j++) {f[u][j] = INF;int k = j - i * d[i];if (k >= 0) f[u][j] = min(f[u][j], f[u ^ 1][k] + (LL)i * d[i] * d[i] + (LL)2 * k * d[i]);k = j - now;if (k >= 0) f[u][j] = min(f[u][j], f[u ^ 1][k] + now * now);}}LL ans = INF;for (int j = 0; j <= s; j++) {if (f[u][j] < INF)ans = min(ans, n * f[u][j] - (LL)j * j);}cout << ans << endl;return 0;
}