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前言

本文对叠加了高斯白噪声的一段整周期余弦信号进行时域分析，使用MATLAB进行信号生成，并计算其均值、方差、与功率。最后给出对计算结果的分析，阐明均值、方差、与功率的关系和物理意义。并介绍通信系统设计时对信源符号编码的考虑。

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一、生成噪声信号并画图

首先使用MATLAB生成一段叠加高斯白噪声的余弦波。代码如下：

% 指定信号的参数，频率1Hz，采样频率为16Hz，信号持续时间为2秒(32个samples)。
A = 1;                         % 余弦波的振幅
f = 1;                         % 余弦波的振荡频率，简称频率
fs = 16;                       % 数字信号的采样频率（sampling frequency ），简称采样率
Ts = 1/fs;                     % 采样周期，也即采样值的时间间隔
L = 32;                        % 一个采样值称为一个sample，L为sample的个数
t = (0:L-1)*Ts;                % 时间向量
snr = 10;                      % 信噪比，dB值% 生成余弦波x
x = A * cos(2*pi*f*t);         % 余弦波% 信号经过awgn信道
y = awgn(x,snr,'measured');    % 信号叠加高斯白噪声 % 画出生成余弦波的时域波形
figure()
subplot(211)
plot(t,x,'LineWidth',1.5)
title('余弦信号的时域波形')
grid on
xlabel('t/s')
ylabel('cos(2*pi*f*t)')subplot(212)
plot(t,y,'LineWidth',1.5)
title('加噪余弦信号的时域波形')
grid on
xlabel('t/s')
ylabel('cos(2*pi*f*t)+noise')

生成的噪声信号画图如下：

二、计算信号的均值、方差、与功率

代码如下：

dc = mean(y);                       % 直流分量。叠加的噪声并不完全是0均值的，导致直流分量不为0
power_dc = dc^2                     % 直流分量功率power_ac = var(y,1)                 % 方差。方差计算的是交流分量的平均功率n2 = norm(y, 2);                    % 2-范数
power = n2^2 / length(y)

计算结果如下：

dc = 0.06564
power_dc = 0.0043
power_ac = 0.6339
power = 0.6383

三、结果分析

结果分析如下：
（1）均值计算出来的是直流分量，dc=0.06564，进而计算出直流功率power_dc=0.0043W。
（2）方差计算得到的是信号中交流分量的功率power_ac=0.6339W。
（3）功率power=0.6383，是信号的总功率，其值是直流分量功率和交流分量功率之和。

需要注意的是，信号的方差和信号的功率这两个概念并不相同。不过，我们在做通信系统设计时，一般将信源符号编码为双极性正负等概的，这样将使得发送的调制信号具有零均值的特性。另外，我们同时假设通信系统中的噪声是零均值分布的。通过这样的设计，我们就可以得到均值为零的接收信号，此时，信号的方差将与信号平均功率相等。这也是我们经常使用方差计算信号功率的原因。

由于某些原因使得接收信号的均值不等于零时，信号的方差与信号功率将不再相等。实际上，这种情况更为常见。此时，只需对信号进行去直流滤波即可将其变为零均值的。

关于去直流滤波器，可以使用高通滤波器，也可以使用陷波滤波器，这将在后面的文章中专题介绍。

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