华为OD机考算法题：篮球比赛

题目部分


题目	篮球比赛
难度	难
题目说明	篮球(5V5)比赛中，每个球员拥有一个战斗力，每个队伍的所有球员战斗力之和为该队伍的总体战斗力。现有 10 个球员准备分为两队进行训练赛，教练希望 2 个队伍的战斗力差值能够尽可能的小，以达到最佳训练效果。给出 10 个球员的战斗力，如果你是教练，你该如何分队，才能达到最佳训练效果?请说出该分队方案下的最小战斗力差值。
输入描述	10 个篮球队员的战斗力(整数，范围[1，10000])战斗力之间用空格分隔，如：10 9 8 7 6 5 4 3 2 1。不需要考虑异常输入的场景。
输出描述	输出描述最小的战斗力差值，如：1。
补充说明	无
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示例
示例1
输入	10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
输出	1
说明	1、2、5、9、10 分为一队，3、4、6、7、8分为一队，两队战斗力之差最小，输出差值1。备注：球员分队方案不唯一，但最小战斗力差值固定是1。

解读与分析

题目解读：

10 个数字分成两组，每组 5 个数字，使两组数字之和的差值最小。请输出最小差值。

分析与思路：

本题与《华为OD机考算法题：MVP争夺战》类似，都是把数字分组，要求分组后的数字达到某种要求。不同的是，在《MVP争夺战》中，每组的数字个数是不定的，而在本题中，每组数字的个数是固定的，都是 5。相对而言，本题的思路和实现更简单。

从 10 个数中，穷尽所有的情况，每种情况计算一下两队的差值，找出差值最小的那个。

假设这两组分别为 A 组和 B 组，这 10 个数字分别为 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ …… $T_{10}$ 。
我们穷尽的顺序是，先把 $T_{1}$ 放到 A 组，然后基于剩下的 9 个数字，采用相同的方法，穷尽 9 个数字取 4 个的所有可能情况。这样从 10 个数字中取 5 个的情况就降维成了 9 个数字取 4 个，同样的方法，最后可以降为成 6 个数字里取 1 个。
以上是 $T_{1}$ 放到 A 组的情况，接下来就是 $T_{2}$ 放到 A 组，然后从 $T_{3}$ 到 $T_{10}$ 这 8 个数字中，穷尽 8 个数字取 4 个数字的所有可能情况。

每遍历一种情况，计算两组的数字之差（设为 diff）时，如果 diff 比之前遍历时计算的最小差（设为minDiff）更小，那么更新 minDiff 的值。遍历完所有情况后，最终求得的 minDiff 值即为题目所要求的输出。这种算法遍历的次数为 $C_{10}^{5}$ 。

在以上的遍历算法中，存在重复计算的情况。题目只关心两组的差值，所以在任意一种组合，把 A 组的数字和 B 组的数字交换，可以看做是同一种情况。如 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 、 $T_{3}$ 、 $T_{4}$ 、 $T_{5}$ 放到 A 组与 $T_{6}$ 、 $T_{7}$ 、 $T_{8}$ 、 $T_{9}$ 、 $T_{10}$ 放到 A 组其实是等同的。为了减少重复，我们可以假设 A 组的数字之和小于或等于 B 组的数字之和，即 A 组数字之和小于或等于所有数字之和（设为 sum）的一半。那么在穷举所有情况时，发现 A 组数字之和已经超过 (sum/2)，那么就可以忽略这种组合了。这样可以减少一半遍历，遍历次数变为 $\frac{C_{10}^{5}}{2}$ 。

既然需要保证A组数字之和小于或等于 (sum/2)，我们可以先对数字进行从小到大排序，进一步减少遍历次数。

综上，此算法的遍历次数不超过 $\frac{C_{10}^{5}}{2}$ 。下面，我们计算一下最大遍历次数。

由组合计算公式 $C_{m}^{n} = \frac{m!}{n!(m-n)!}$ ，可以得出 $\frac{C_{10}^{5}}{2}$ = $\frac{ 10!}{(5!)(5!)*2}$ = 126，最多不超过 126 次。

代码实现

Java代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;/*** 篮球比赛* @since 2023.09.15* @version 0.1* @author Frank**/
public class BasketballGame {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);while (sc.hasNext()) {String input = sc.nextLine();String[] strNumbers = input.split( " " );// 此处 count == numbers.count，可以完全不用考虑 count.processBasketballGame( strNumbers );}}private static void processBasketballGame( String strNumbers[] ){Integer[] numbers = new Integer[strNumbers.length];int sum = 0;for( int i = 0; i < numbers.length; i ++ ){numbers[i] = Integer.parseInt( strNumbers[i] );sum += numbers[i];}Arrays.sort( numbers );int minDiff = sum;	// minDiff 一定小于 sumList<Integer> numList = new ArrayList<Integer>( Arrays.asList( numbers ) );minDiff = getMinDiff( sum, minDiff, 0, 0, numList );System.out.println( minDiff );}private static int getMinDiff( int SUM, int minDiff, int currentSum, int currentCnt, List<Integer> numbers ){			if( currentCnt + numbers.size() < 5 ){return SUM;}List<Integer> tmpRemovedNumber = new ArrayList<Integer>(); for( int i = 0; i < numbers.size(); i ++ ){int tmpMinDiff = SUM;int tmpNumber = numbers.get( i );int tmpCurrentSum = currentSum + tmpNumber;int tmpCurrentCnt = currentCnt + 1;if( tmpCurrentSum * 2 > SUM ){break; // 可以break，因为后面的数字更大。}if( tmpCurrentCnt == 5 ){tmpMinDiff = SUM - tmpCurrentSum * 2;if( tmpMinDiff < minDiff ){minDiff = tmpMinDiff;continue;}}tmpRemovedNumber.add( tmpNumber );numbers.remove( i );tmpMinDiff = getMinDiff( SUM, minDiff, tmpCurrentSum, tmpCurrentCnt, numbers );if( tmpMinDiff < minDiff ){minDiff = tmpMinDiff;}
//			numbers.add( i, tmpNumber );  // 不必加回去，可以减少一半的穷举数}		for( int i = 0; i < tmpRemovedNumber.size(); i ++ ){numbers.add( i, tmpRemovedNumber.get( i ) );}return minDiff;}}

JavaScript代码

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
const readline = async () => (await iter.next()).value;
void async function() {while (line = await readline()) {// count 可以忽略var strNumbers = line.split(" ");processBasketballGame(strNumbers);}
}();function processBasketballGame(strNumbers) {var numbers = new Array();var sum = 0;for (var i = 0; i < strNumbers.length; i++) {numbers[i] = parseInt(strNumbers[i]);sum += numbers[i];}numbers.sort();var minDiff = sum; // minDiff 一定小于 summinDiff = getMinDiff(sum, minDiff, 0, 0, numbers);console.log(minDiff);
}function getMinDiff(SUM, minDiff, currentSum, currentCnt, numbers) {if (currentCnt + numbers.length < 5) {return SUM;}var tmpRemovedNumber = new Array();for (var i = 0; i < numbers.length; i++) {var tmpMinDiff = SUM;var tmpNumber = numbers[i];var tmpCurrentSum = currentSum + tmpNumber;var tmpCurrentCnt = currentCnt + 1;if (tmpCurrentSum * 2 > SUM) {break; // 可以break，因为后面的数字更大。}if (tmpCurrentCnt == 5) {tmpMinDiff = SUM - tmpCurrentSum * 2;if (tmpMinDiff < minDiff) {minDiff = tmpMinDiff;continue;}}tmpRemovedNumber.push(tmpNumber);numbers.splice(i, 1);tmpMinDiff = getMinDiff(SUM, minDiff, tmpCurrentSum, tmpCurrentCnt, numbers);if (tmpMinDiff < minDiff) {minDiff = tmpMinDiff;}}for (var i = 0; i < tmpRemovedNumber.length; i++) {numbers.splice(i, 0, tmpRemovedNumber[i]);}return minDiff;
}

(完)

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