【算法学习笔记】29：动态规划中可丢弃状态的维度压缩

1 动机

当状态 $i$ 只依赖于前置状态 $i - 1$ ，并且在计算出状态 $i$ 之后就可以丢弃状态 $i - 1$ 时的解时， $i - 1$ 就成为一个可丢弃的状态，因此就可以将 $i$ 这个维度直接压缩（省略）掉，用一个变量不停的更新自己就可以了，可以直接节省一个维度的空间占用。

2 例题

2.1 LC1955. 统计特殊子序列的数目

状态表示： $f (i, j)$

集合：对于 $0.. i$ 组成的子数组， $j = 0$ 时表示全0， $j = 1$ 时表示正整数个0后接正整数个1， $j = 2$ 时表示正整数个0后接正整数个1后接正整数个2，如此子序列组成的集合
属性：Count（集合中元素的数量）

记 $x$ 为 $n u m s [i]$ ，则有状态转移：

当 $x = 0$ ， $f (i, 0) = 2 * f (i - 1, 0) + 1$ ，这个 $2 *$ 表示 $i$ 位置的元素选或者不选， $+ 1$ 表示这个 $i$ 位置的新的 $0$ 自己组成的新的子序列
当 $x > 0$ ， $f (i, x) = 2 * f (i - 1, x) + f (i - 1, x - 1)$
对于 $\in [0..2]~|~y \neq x$ ， $f (i, y) = f (i - 1, y)$

初始时， $f (0, > 0) = 0$ ，如果首个元素是 $0$ 那么 $f (0, 0) = 1$ ，否则 $f (0, 0) = 0$

class Solution {
public:int countSpecialSubsequences(vector<int>& nums) {constexpr int mod = 1e9 + 7;int n = nums.size();vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, 0));if (0 == nums[0]) f[0][0] = 1;for (int i = 1; i < n; i ++ ){for (int j = 0; j < 3; j ++ )f[i][j] = f[i - 1][j];if (0 == nums[i])f[i][0] = ((2 * f[i - 1][0]) % mod + 1) % mod;elsef[i][nums[i]] = ((2 * f[i - 1][nums[i]]) % mod + f[i - 1][nums[i] - 1]) % mod;}return f[n - 1][2];}
};

这里用了二维数组来存每个状态，但注意到 $i$ 只依赖 $i - 1$ 进行状态转移，并且返回的也是 $n - 1$ 时的结果，所以 $i - 1$ 是一个可丢弃状态，因此可以进行空间压缩，直接把 $i$ 这个维度去掉即可：

class Solution {
public:int countSpecialSubsequences(vector<int>& nums) {constexpr int mod = 1e9 + 7;int n = nums.size();int f[3] = {nums[0] ? 0 : 1, 0, 0};for (int i = 1; i < n; i ++ ){if (0 == nums[i])f[0] = ((2 * f[0]) % mod + 1) % mod;elsef[nums[i]] = ((2 * f[nums[i]]) % mod + f[nums[i] - 1]) % mod;}return f[2];}
};