一、基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1] ，i=1,2,…,n，其中 x 1=a， xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
二、实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a 和 b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
2．牛顿－柯特斯法基于 牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了 quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。3 ．被积函数由一个表格定义在 MATLAB 中，对由 表格形式 定义的函数关系的求定积分问 题用 trapz(X,Y) 函数。其中向量 X,Y 定义函数关系 Y=f(X) 。
例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数 quad 求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =0.9008
n =77运行结果 ：
例 8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件 fx.m 。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数 quad8 求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =2.4674运行结果 ：
例 8-3 分别用 quad 函数和 quad8 函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用
次数。 调用函数 quad 求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =0.28579444254766
n =65运行结果 ：
调用函数 quad8 求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =0.28579444254754
n =33 例 8-4 用 trapz 函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =0.28579682416393运行结果 ：
三、二重定积分的数值求解
使用 MATLAB 提供的 dblquad 函数 就可以直接求出上述 二重定积分的数值解 。 该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求 f(x,y) 在 [a,b] × [c,d] 区域上 的二重定积分。参数 tol ， trace 的 用法与函数 quad 完全相同。
例 8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件 fxy.m ：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用 dblquad 函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =1.57449318974494
ki =1038运行结果 ：
结语
别为不值得的人，少了微笑
别为鸡毛蒜皮的事，添了烦恼
努力做一个向阳而生的人
！！！
