DP 整数拆分不同的二叉搜索树 DAY21

整数拆分?

给定一个正整数 n ,将其拆分为 k正整数 的和( k >= 2 ),并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

难点:不清楚如何拆分使得乘积最大,拆成多少项?只想到i*(n-i)两项相乘而已,还存在拆成3项、4项…

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义:

dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]

2.递推公式 ?

自己的想法是:dp[j]*dp[i - j],理论上可以,但不符合DP数组定义。

那有同学问了,j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。

递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

实际上从1遍历 j,然后有两种渠道得到dp[i]

​ (1))拆成两项: j * (i - j) 直接相乘

​ (2)拆成两项以上:j * dp[i - j] , 相当于是拆分(i - j)

3.初始化

dp[0] = 0, dp[1] = 0;没意义

dp[2] = 1;

4.遍历顺序

j = 3开始遍历,因为dp[2]已经初始化了。

for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}

拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3, 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。

那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以,后面就没有必要遍历了,一定不是最大值。

for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}

总结

没完全消化,特别是递推公式…我觉得是dp[i - j] * dp[j],另外还需要取最大值max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);如何理解?

class Solution {public int integerBreak(int n) {if(n < 3) return n-1;int[] dp = new int[n + 1];//为什么是n + 1?//初始化dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= i - j; j++){dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));}}return dp[n];}
}

不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1:

img
输入:n = 3
输出:5

示例 2:

输入:n = 1
输出:1

提示:

  • 1 <= n <= 19

二叉搜索树

二叉搜索树又称为二叉排序树,它或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空,则左子树上所有结点的值都小于根结点的值。
  • 若它的右子树不为空,则右子树上所有结点的值都大于根结点的值。
  • 它的左右子树也分别是二叉搜索树。
  • 二叉搜索树中不允许有相同值的两个结点

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

96.不同的二叉搜索树2
  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

​ 2.确定递推公式

dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量

​ 3.dp数组初始化

初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。那么dp[0]应该是多少呢?

从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的。初始化dp[0] = 1

​ 4.确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为 i 的状态是依靠 i 之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。

class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n+1];//因为初始化时有dp[0],所以需要n+1//初始化dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++){//计算n之前的dp[1],dp[2]...dp[n];对于第i个节点,需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况,所以需要累加。for(int j = 1; j <= i; j++){//遍历每个dp[i]左右节点数的情况:(0,i);(1,i-1);(2,i-2)...(i,0);一共i个节点,对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1,右子树的节点个数为i-jdp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];//System.out.print(dp[i] + " ");// n = 3时,dp数组:1 1 2 2 3 5 }}return dp[n];}
}

总结

这道题想到用动规的方法来解决,就不太好想,需要举例,画图,分析,才能找到递推的关系。

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