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date:2024/07/23
author:sion
tag:Deeping Learn

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LDA(线性判别分析)

1.LDA是什么

LDA是一种解决二分类问题的线性方法。它描述，对于给定样例集，将样例点投影到一条直线上，这条直线能使异样的样例相距远，同类的样例分布靠近，对于新的样例，根据在这条直线上的投影判断属于哪一类别。

date:2024/07/23
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LDA(线性判别分析)

1.LDA是什么

LDA是一种解决二分类问题的线性方法。它描述，对于给定样例集，将样例点投影到一条直线上，这条直线能使异样的样例相距远，同类的样例分布靠近，对于新的样例，根据在这条直线上的投影判断属于哪一类别。

因此我们的所有任务围绕确定直线展开。

2.问题背景

首先描述问题背景，这里直接引用西瓜书原话：

这里描述的是一个二分类问题。

那么如何理解投影？

3.投影

若已知向量$\vec{x}$和向量$\vec{w}$ ,求$\vec{x}$在向量$\vec{w}$上的投影，可以用内积表示：
$$\vec{x}\cdot \vec{w}=|\vec{x}||\vec{w}|\cos \theta$$
当w为单位向量，该投影为：
$$|\vec{x}|\cos \theta$$
因此在下图上，$y$表示target（标签），假设x与y有线性关系由参数集合$w$确定（$y=wx+b，w^T=w,b\ast$）

则任意x在直线上的投影可以认为是x根据线性关系找到的y值，那么这个投影过程表示为：
$$w^{T}X$$
其中$x_i$在向量$X$方向上($X=X_1;X_2..;X_i$)

4.离散度

前面提到需要使得“异样的样例相距远，同类的样例分布靠近”，因此我们需要一个衡量标准，异样的距离使用类间散度衡量，同样使用类内散度衡量

$ \ {\mu}_i$用来表示各类的均值，这里只有$\ {\mu_0},{\mu_1}$,分别表示正类和负类的均值。异类之间的距离使用均值在直线的投影的距离表示：
$$||w^T{\mu }_0-w^T{\mu }_1|{|}_2^2=w^T({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{T}w$$
这里下标2表示2类向量的模，即欧几里得距离

同类之间使用协方差比较距离：
$$w^T({\Sigma }_0+{\Sigma }_1)w$$
$\Sigma$为协方差矩阵

为了简化表示，我们引入两个新概念，类间散度矩阵和类内散度矩阵。

类间散度矩阵用$S_b$表示：
$$S_b=({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^T$$
类内散度矩阵用$S_w$表示：
$$S_w={\Sigma }_0+{\Sigma }_1$$

5.目标函数

为了同时考虑”使同类样例的投影点尽可能接近，可以让同类样例投影点的协方差尽可

能小“，设置目标函数：
$$J=\frac{w^T{S}_{b}w}{w^T{S}_{w}w}$$
求这个目标函数的最大值可以转换为求$S_b$和$S_w$的**”广义瑞利商“**，这里使用拉格朗日乘子法求解，具体过程不在讨论范围。

$$\begin{gathered} min{\omega }^T{S}_{b}w \\ s.t.w^T{S}_{w}w=1. \end{gathered}$$

最终求得$w=S^{-1}({\mu }_0-{\mu }_1)$

6.推广到多分类

在多分类问题中，LDA一般作为降维方法进行属性约简。设target数量为N,$\mu$为所有数据的均值，${\mu }_i$表示示属性i的均值,$m_i$表示第i属性的数据量。

首先定义”全局散度矩阵“：
$$S_t=S_b+S_w=\sum _{i=1}^m(x_i-\mu )(x_i-\mu {)}^T$$
$S_w$ 可以表示为：
$$\begin{gathered} {S_w}_i=\sum _{x\in X_i}{\Sigma }_i=\sum _{x\in X_i}(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^T \\ {S}_w=\sum _{i=1}^N{S}_{wi} \end{gathered}$$

$S_b$可以表示为：
$$S_b=\sum _{i=1}^N{m}_i({\mu }_i-\mu )({\mu }_i-\mu {)}^T$$
推导参考：

多分类 LDA 可以有多种实现方法，使用 $S_w$, $S_t$ 两者中的任何两个即可。常见的一种实现是采用优化目标

$$ma{x}_W\frac{tr(W^T{S}_{b}W)}{tr(W^T{S}_{w}W)}$$
$tr(\cdot )$表示矩阵的迹（trace）即矩阵对角线上元素的和，我们在LDA中要做的是找到一个投影矩阵$W$，使得这个比值最大化。

该式可以转换为一个最大广义特征值的问题的求解：
$$S_{b}W=\lambda S_{w}W$$
$W$的闭式解则是 $S_w^{-1}{S}_b$_的N-1个最大广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵，即我们要求的投影矩阵