计算机很多术语翻译成中文之后，不知道是译者出于什么目的，往往将其翻译成一个很难懂的名词。

奇怪的数学定义

下面是关于原码的“吐槽”，可以当作扩展。你可以不看，直接去下一章，没有任何影响。
原码的吐槽放在前面是防止读者看完原码，然后看半天才看到补码，影响阅读体验。

某些书描述“原码”的时候很“奇怪”，你可能在某些书上见到过下面这样很难理解的描述（下图截自原码 - 维基百科）：

这玩意是数论里的等价类或者群论里的空间的表达方式，也就是计算机里常出现的“模运算”。或者还有个更高级的名字：散列（因为很多散列算法就是模运算，然后用的等价类的思想）。

等价类：3 mod 2和1 mod 2的结果都为1，所以都等于[1]，也就是3和1都是关系mod 2的1等价类。

那上面的那一堆是什么意思呢？

以整数原码为例，X是一个数，范围不定。

[+1011]的意思是和+1011等价的所有数：
$$Xmod{2}^n=1011$$

比如$n>4$的时候$2^n>0b1111$
$$\begin{gathered} 1011mod{2}^n=1011 \\ (2^n+1011)mod{2}^n=1011 \end{gathered}$$

而[-1011]的意思是和(2^{n-1} - 1011)等价的所有类：

$$(2^{n-1}-X)mod{2}^n=1011$$

比如是 8 位的数字：
$$\begin{gathered} (2^{8-1}-(-1011))mod{2}^n= \\ (10000000+1011))mod11111111=10001011 \end{gathered}$$

这是教材，不是论文，而且一般论文也不用这么说吧？

这种表达方式唯一的好处就是让你理解溢出之后该怎么处理，因为取模运算的值就是溢出后得到的值。

说实话这种表达方式就不应该出现在任何现代教材中，哪怕是很多数学分析的书都不会这样描述数的。我不知道这种用法最早出现在哪里，但是欧美一些常见的计算机组成与设计教材中没有出现过这种用法，也就是说并不是盲目学来的。

不论是“true code”还是“true form”都在英文搜索中难以找到。WiKi “有符号数处理”中，“原码”对应的是“符号及值（sign & magnitude）”，英文版直接就是“Sign–magnitude”。这玩意的在一些教材中的翻译是“符号和幅值表达法”，看看这个名字多清晰和直白。

这个方法读者理解就好，没必要学，后文也完全不使用这个方法，怎么容易理解怎么来。但计算机科学确实有很多算法使用了等价类的概念，所以如果你要走算法方向，还是要看看的。

原码

原码就是我们常用的数，在计算机中就是用二进制表示的十进制数，不论正负、不论整数还是小数。

n位原码就是用最高位（小端就是最右位）当作符号位（0为正数，1为负数），关于0对称范围内的数（$-2^n～2^n$），比如-4～4、-16～16，范围的两个端点关于0对称，正负数的个数相同。

补码（2’s complement）

n位补码就是用最高位（小端就是最右位）当作符号位（0为正数，1为负数）关于0不对称范围内的数（$-2^{n-1}～(2^{n-1}-1)$），比如-16～15，范围的两个端点关于0不对称。

这里概念很容易和和其他码搞混，比如原码。

但其实只用记住一个关键点：补码的-1是1111，而原码是1001。

换言之，从零值的“生长”来说：

• 原码相当于少一位（最大的那位）的无符号数。抛开符号位-x和x的表达是一样的，所以上下限的绝对值是一样的。
• 补码从0开始增减，0b0000-1，借位算出是0b1111。但是+1增的时候，要注意不能让最大位为1，所以上限比下限绝对值少1。

补码是现在主流的格式，所以各种考试也主要考补码。所以只讲一下补码的计算。

补码计算的时候，加减法要带着符号位进行，乘除法就是左移补0，右移补符号位。

比如：

• 1011*2，得到的是0110。
• 1011/2，得到的是1101。
• 0011+0011，也就是3+3=6=0110

 0011
+0011
-------0110

• 0011-0111，也就是3-7=-4=1100。

 0011
-0111
-------1100

用加减法可以很容易得到-x对应的二进制，反之亦然。

举个例子，我要计算出1111 0100的的十进制，那么可以先计算出和0（0000 0000）的差（前 4 位相同，甚至可以不用写）：

 0000 0000
-1111 0100
-----------0000 1100

得到12，加上符号-（原二进制符号位为1，也就是负的），那么最后得到-12。

反之，我们想计算出-8的二进制，也就是和0差8（0000 1000），那么就可以：

 0000 0000
-0000 1000
-----------1111 1000

是不是很简单。

反码（1’s complement）

反码中，一个数的相反数就是按位取反，1变0，0变1，这也是名字的由来。

比如1（00000001）按位取反，得到-1（11111110）。

所以反码和原码一样，是关于0对称的，所以正负数的个数相同。但是不同之处在于：反码有两个0，正0（0000）和负0（1111）。

在无符号数的反码中，x按位取反为$2^n-1-x$。

因为无符号反码增长就是从0一直加，所以最大值是$2^n-1$。而按位取反就相当于从尾部往前倒。

你可以观察一下下面这个表格，再看看我的说法，你就会理解了。

反码（1’s complement）早期设备用的多，现在用补码（2’s complement）是主流，因为反码计算的时候更麻烦一些，只是在计算一些科学计算的时候更有优势罢了。

看开头的数字也可以看出顺序来（啊对，这两个英文中的数字就是版本，这你能想到哈哈哈哈）。

移码（Offset binary）

移码又称“偏移表示法”，这个方法现在是上面浮点数用的多，比如 IEEE 754。

移码从0000开始递增，依旧使用最高位位符号为，只不过这里1表示正数
，0表示负数。与前面的几种方法相反。

有符号移码最小的负数是0000，最大的整数是1111，0是1000。

这里可能好奇名字中“偏移”的意思，其实就是“给数加上一个偏移数后，使其具有非负的表达形式”。

比如上面的0，加上一个偏移1000，得到的就是1000，也就是0，非负。

关于这部分，浮点数中再细说吧。

希望能帮到有需要的人～

参考资料

《Computer Organization and Design MIPS Edition: The Hardware/Software Interface Fifth Edition》：如果你要学习计算机结构的话，这本书要比国内的很多教材好，但是翻译的确实不太行。

原码 - 维基百科

Signed number representations - 维基百科