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文章概述：ACM算法 ——二分查找

关键词：ACM  二分法  整数二分  浮点数二分

本文目录：

二分法binary search

整数二分

原理：

步骤

示例：

浮点数二分

原理：

算法特性：

优点与局限性

 

 

二分法binary search

是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

整数二分

原理：

一定要保证mid 在区间内

强调边界问题:计算mid时要不要加1

定义了某种性质，使左半边不满足，右半边满足

分别找到对应的红色边界点和绿色边界点，对应两种模版：

步骤

1.如果二分出红色点

mid =(l+r+1) >> 2

if(check(mid))

{

true mid<=target   target在 [mid,r]之间         更新 l=mid;

false mid>target     target在 [l,mid-1 ]之间     更新 r=mid-1;

}

2.如果二分出绿色点

mid =(l+r) >> 2

if(check(mid))

{

true mid>=target   target在[l,mid ] 之间       更新 r=mid;

false mid<target   target在 [mid+1,r]之间     更新 l=mid+1;

}

示例：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;
int n, m;
int q[N];int main()
{// 读取n和m的值scanf("%d%d",&n,&m);// 读取长度为n的数组for (int i = 0; i < n; i++)  scanf("%d", &q[i]);// 处理m个查询while (m--){int x;// 读取查询值xscanf("%d", &x);int l = 0, r = n - 1;// 二分查找左边界while (l < r){int mid = (l + r) >> 1; // 等价于(l + r) / 2if (q[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}// 如果没有找到xif (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;else{// 输出左边界cout << l << ' ';l = 0; r = n - 1;// 二分查找右边界while (l < r){int mid = (l + r + 1) >> 1; // 等价于(l + r + 1) / 2if (q[mid] <= x) l = mid;else r = mid - 1;}// 输出右边界cout << l << endl;}}return 0;
}

浮点数二分

原理：

不需要考虑过多边界问题

因为浮点数二分就是确切的一半

类似整数二分

#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;int main()
{double x;// 使用cin读取输入cin >> x;// 初始化二分法的左右边界double l = -10000, r = 10000; // 范围足够大，可以包含所有可能的浮点数值// 经验值：当误差小于1e-8时停止迭代while (r - l > 1e-8){double mid = (l + r) / 2;if (mid * mid * mid >= x)r = mid;elsel = mid;}// 输出计算结果，保留6位小数printf("%.6lf\n", l);return 0;
}

算法特性：

时间复杂度为 𝑂(log⁡𝑛) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 log2⁡𝑛 。

空间复杂度为 𝑂(1) ：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小空间。

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 𝑛=220 时，线性查找需要 220=1048576 轮循环，而二分查找仅需 log2⁡220=20 轮循环。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛log⁡𝑛) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 𝑛 较小时，线性查找反而比二分查找更快。