欧式空间（欧几里得空间）

        欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，在欧几里得几何中，两平行线任何位置的间距相等。

        而中学学的几何空间一般是2维，3维（所以，我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的），如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间（欧式空间，Euclidean Space）。

        在欧式空间中主要定义了内积、距离、角。

傅里叶级数

        在说明希尔伯特空间之前，我们先来了解什么是傅里叶级数。

        对于一个绕着中心点转圈的点（半径为3，转速1秒1圈），我们给它加上一个时间维度，就会得到右图的圆柱螺旋线。

         在这个空间中，我们从不同角度观察会得到不同的曲线。

        在这个基础上我们假设A点绕着中心旋转（半径为3，转速1秒1圈）,B点绕着A旋转（半径为2，转速1秒2圈），C绕着B旋转（半径为1，转速1秒4圈）。最终得到的平面观察图如下。 同时再加上时间维度。

        从三个不同的方向观察得到的结果如下。 

        这个例子只举例了三个简单的旋转叠加成一个复杂函数，而且傅里叶级数就是无穷多项的叠加。其公式如下（涉及到的欧拉公式及其证明，文章末尾有链接感兴趣的可以查看）：   

      这个公式的含义就是用无限个圆盘一个接一个套在一起，当他们旋转的时候就可以表示任何函数图案，如下图：

希尔伯特空间

        希尔伯特空间是欧几里得空间的直接推广，完备的内积空间就是希尔伯特空间。

        线性空间

        线性空间就是定义了加法和数乘，空间里的一个元素就可以由其他元素线性表出，这就是线性空间。

        内积空间

        在线性空间的基础上定义了内积，内积就是我们所说的点乘、标积。内积可以理解为输入两个向量输出一个数的运算。

        

        希尔伯特空间

        在常见的向量空间坐标系上（x=0做x轴,y=0做y轴）进行改变，改成sin(x)做x轴，sin(2x)做y轴。如下图：

        在此基础上继续增加一个sin(3x)作为z轴，最后得到的三维空间如下图：

        看起来很乱，但是不用担心，我们以[1,1,1]为例，则它表达的向量是：

        这和傅里叶级数有点像。当我们把它升到无穷维就会得到傅里叶级数的正弦形式：

        这就意味着几乎所有连续函数都可以这样分析，因为傅里叶级数可以合成其它函数。所以希尔伯特提出把任意连续函数直接看成矢量，这样就可以把它拉成了平直坐标系。并且这里面所有的连续函数就构成了一个完备的欧几里得空间。

        希尔伯特空间就是完备的内积空间，即其中任意柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。换句话说，对于一个完备的内积空间，任何收敛序列都有极限存在于该空间中。这个性质在数学中非常重要，因为它保证了空间中的序列不会“收敛到空间之外”，从而使得我们可以更好地研究空间中的性质和结构。

总结

        欧式空间的应用场景很好理解，因为我们生活的就是一个三维的欧式空间，我们想当然的理解的距离，长度，夹角的概念就是欧式空间中距离，范数，內积的定义。那么希尔伯特空间的应用场景呢，希尔伯特空间中的元素一般是函数，因为一个函数可以视为一个无穷维的向量。如果大家熟悉傅里叶变换或者泰勒展开，便能自然的想到这个空间的基底是什么。没错，也是一组无限多的函数。

参考：

1.欧式空间与希尔伯特空间-CSDN博客

2.欧几里得空间与非欧空间 Euclidean Space And Non-Euclidean Space_欧式空间和非欧空间-CSDN博客

3.计算机图形学(一)-向量、向量加减法、向量的点积（乘）及应用、向量的叉积（乘）及应用_向量图形运算-CSDN博客

4.用人话说说希尔伯特空间？？-CSDN博客

5.什么是希尔伯特空间？从数列极限到量子力学01_哔哩哔哩_bilibili

6.高阶变换，希尔伯特空间_哔哩哔哩_bilibili

7.傅立叶级数，无穷宇宙中的旋转_哔哩哔哩_bilibili

8.欧拉的魔法之剑，从弧度定义到上帝公式_哔哩哔哩_bilibili