概率论原理精解【1】

文章目录

测度
- 概述
- 集类
- 笛卡尔积
- - 定义
  - 例子
- 多集合的笛卡尔积
- - 定义
  - 计算方法
  - 注意事项
- 有限笛卡尔积的性质
- - 1. 定义
  - 2. 性质
  - - 2.1 基数性质
    - 2.2 空集性质
    - 2.3 不满足交换律
    - 2.4 不满足结合律
    - 2.5 对并和交运算满足分配律
  - 3. 示例
  - 4. 结论
参考链接

测度

概述

所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度；平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。
一般的集合，我们能不能定义测度呢？比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？
一个简单的办法，就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以像排自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论）
所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的 $2^n$ 分之一。这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。这样我们就说有理数集的测度是0。用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

集类

是一个集合，但集合的元素也是集合。
设有非空集合G，G的子集构成了集类的元素。
指标集是用来给集类中的元素标注。
比如 ${G_i:I \in I}$
$I$ 为指标集
$\bigcap\limits_{i \in I} G_i=\{g:g \in G_i,\forall i \in I\} \\\bigcup\limits_{i \in I} G_i=\{g:g \in G_i,\forall i \in I\}$
极限
给定一个集合序列 ${A_n}$ ，它的上极限可以定义为在无穷多个 $A_n$ 中都存在的元素的集合，而下极限则是只有有限个 $A_n$ 不包含它的元素的集合。
$集合列{A_K} \\上极限集：\overline{\lim\limits_{k\rightarrow\infty}}A_k=\displaystyle\bigcap_{j=1}^{\infty}\displaystyle\bigcup_{k=j}^{\infty}A_k \\下极限集: \lim_{\overline{k\rightarrow\infty}}=\displaystyle\bigcup_{j=1}^{\infty}\displaystyle\bigcap_{k=j}^{\infty}A_k$
$设\{A_n,n \ge 1\}是单调集列，则\{A_n,n \ge 1收敛\} \\A_n\uparrow=>\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=\cup_{n=1}^{\infty}A_n \\A_n\downarrow=>\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=\cap_{n=1}^{\infty}A_n$
值空间
$\subset X,A在f下的像为f(A)，即： \\f(A)=\{f(x):x \in A\} \\f(A) \subset Y \\Y为值空间$

笛卡尔积

下面是文心一言的生成内容
笛卡尔积（Cartesian product）是数学中的一个概念，尤其在集合论、关系代数和计算机科学中非常重要。它指的是两个或多个集合中所有可能的有序元素对的集合。如果集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么A和B的笛卡尔积将包含m * n个元素，即A中每一个元素都与B中每一个元素配对一次。

定义

设A和B是两个集合，A和B的笛卡尔积记作A × B，是一个集合，其元素是形如(a, b)的有序对，其中a属于A，b属于B。

例子

假设有两个集合：

A = {1, 2}
B = {x, y}

那么A和B的笛卡尔积A × B将是：

A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}

这个集合包含了A中每个元素与B中每个元素的所有可能组合。

多集合的笛卡尔积

多集合的笛卡尔积（Cartesian product）是数学中的一个重要概念，它描述了多个集合之间所有可能的组合方式。笛卡尔积的结果是一个新的集合，其中的每个元素都是原集合中元素的组合。以下是关于多集合笛卡尔积的详细解释：

定义

对于给定的n个集合A1, A2, …, An，它们的笛卡尔积是一个新的集合，记作A1×A2×…×An，其中每个元素都是一个n元组(a1, a2, …, an)，其中ai属于Ai（i=1, 2, …, n）。这个n元组表示从每个集合Ai中选取一个元素ai所形成的组合。

计算方法

两个集合的笛卡尔积：
- 假设有两个集合A和B，A有m个元素，B有n个元素。那么A和B的笛卡尔积A×B将有m×n个元素，每个元素都是一个有序对(a, b)，其中a属于A，b属于B。
- 例如，A={1, 2}，B={3, 4}，则A×B={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}。
多个集合的笛卡尔积：
- 可以通过迭代计算两个集合的笛卡尔积来得到多个集合的笛卡尔积。
- 首先计算前两个集合的笛卡尔积，然后将结果与下一个集合进行笛卡尔积计算，依此类推，直到与最后一个集合计算完成。
- 例如，对于集合A={a, b}，B={0, 1}，C={x, y}，则首先计算A×B={(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1)}，然后将结果与C进行笛卡尔积计算，得到A×B×C={(a, 0, x), (a, 0, y), (a, 1, x), (a, 1, y), (b, 0, x), (b, 0, y), (b, 1, x), (b, 1, y)}。