数组基础

在使用导入 Numpy 时，通常给其一个别名 “np”，即 import numpy as np 。

数据类型

整数类型数组与浮点类型数组

为了克服列表的缺点，一个 Numpy 数组只容纳一种数据类型，以节约内存。为方便起见，可将 Numpy 数组简单分为整数类型数组与浮点型数组。

输出：

注意这个区别非常重要，不能忽视。

另外使用 print 输出 Numpy 数组后，元素之间没有逗号，这有两个好处，一是可以可将之与 Python 列表区分开来，二是可以避免逗号与小数点之间的混淆。

同化定理

一个人的力量是无法改变全体的，在实际操作中要注意：

1、往整数类型数组里插入浮点数，该浮点数会自动被截断为整数。
2、往浮点数类型数组里插入整数，该整数会自动升级为浮点数。

输出：

共同改变定理

同化定理告诉我们，整数型数组和浮点型数组之间的界限非常严格，那么如何将这两种数据类型的数组进行相互转化呢？既然某一个人容易被集体所同化，那只要全体共同改变，自然就可以成功。

整数型数组和浮点型数组相互转换，规范的方法是使用 .astype() 方法。

输出：

除了上述方法以外，只要满足共同改变定理，整数型数组和浮点型数组仍然可以互相转换。最常见的是整数型数组在运算过程中升级为浮点型数组，示例如下。

输出：

整数型数组很好升级浮点型数组，但浮点型数组在运算过程中一般不会降级。

数组维度

一维维度和二维数组

考虑到深度学习中三维及其以上的数组出现次数少，我们后续主要讲解 Numpy 中的一维数组和二维数组，学了一维和二维后，很好类推到三维。

不同维度的数组之间，从外形上的本质区别是：

一维数组使用 1 层中括号表示；
二维数组使用 2 层中括号表示；
三维数组使用 3 层中括号表示。

有些函数需要传入数组的形状参数，不同维度数组的形状参数为：

一维数组的形状参数形如：x 或 (x, )；
二维数组的形状参数形如：(x, y)；
三维数组的形状参数形如：(x, y, z)。

现在以同一个序列进行举例：

当数组有一层中括号，如 [1 2 3]，则其为一维数组，其形状是 3 或 (3, )；
当数组有两层中括号，如 [ [1 2 3] ]，则其为二维数组，其形状是 (1, 3)；
当数组有三层中括号，如 [ [ [1 2 3] ] ]，则其为三维数组，其形状是 (1, 1, 3)。

这里用一个后面要讲的 np.ones() 函数进行演示，只因其刚好符合需要传入参数的形状。

输出：

平时可以随时留意一下数组的维度（通过中括号的数量），后面有些函数（比如数组的拼接函数）需要两个数组是同维度的。

不同维度数组之间的转换

不管一维数组转二维数组，还是二维数组转一维数组，都要使用的是数组的重塑方法 .reshape() ，该方法需要传入重塑后的形状（shape）参数。

这个方法神奇的是，给定了其它维度的数值，剩下一个维度可以填 -1，让它自己去计算。比如把一个 5 行 6 列的矩阵重塑为 3 行 10 列的矩阵，当列的参数 10 告诉它，行的参数直接可以用 -1 来替代，它会自动去用 30 除以 10 来计算。

演示将一维数组升级为二维数组：

输出：

这里给 .reshape() 传入的形状参数是 (1, -1) ，正常情况下我们都肯定是 (1, 10)，这里 (1, -1) 的含义是：行的参数是 1 行，列的参数是 -1 自己去除着算吧（反过来也是一样的嗷）。

接着，演示将二维数组降级为一维数组。

输出：

现在规定，本文中将一维数组称为向量，二维数组称为矩阵。

数组的创建

创建指定数组

当明确知道数组每一个元素的具体数值时，可以使用 np.array() 函数，将 Python 列表转换为 Numpy 数组。

输出：

注意：一维向量是最节省内存的，而二维三维会逐渐使内存消耗变大。

特别是极端情况如 一万行一列 的这种情况，是非常消耗内存的。

创建递增数组

递增数组使用 np.arange() 函数进行创建（arange 全称是 array_range）。

输出：

如果想要创建递增的浮点数数组的化，可以有下面两种技巧：

输出：

创建同值数组

需要创建同值数组时，使用 np.zeros() 函数以及 np.ones() 函数，如示例。

输出：

示例中隐藏了一个细节，两个函数输出的并不是整数型的数组，这可能是为了避免插进去的浮点数被截断，所以将其设定为浮点型数组。

创建随机数组

有时需要创建随机数组，那么可以使用 np.random 系列函数，如示例。

输出：

数组的索引

访问数组元素

与 Python 列表一致，访问 Numpy 数组元素时使用中括号，索引由 0 开始。

访问向量

输出

访问矩阵

输出：

花式索引

在上一小节访问单个元素时，向量用 arr1[x]，矩阵用 arr2[x, y] 。逗号在矩阵里用于区分行和列，这一小节逗号新增一个功能，且不会与矩阵里的逗号混淆。

向量的花式索引

输出：

矩阵的花式索引

输出：

根据以上示例，花式索引也就是用向量来替代普通索引的行列元素，且花式索引输出的仍然是一个向量。

普通索引用一层中括号，而花式索引使用两层中括号。

访问数组切片

向量的切片

向量与列表切片的操作完全一致，因此本页内容在 Python 基础中均有涉及。

输出：

矩阵的切片

输出：

提取矩阵的行

基于矩阵的切片功能，我们可以提取其部分行。

输出：

所以有时可能会看到诸如 arr[1][2] 这样的语法，不必吃惊，其实这只是先提取了第一行，再提取该行中第二个元素。BTW，这样的简便写法并不推荐，最好规范的写。

提取矩阵的列

基于矩阵的切片功能，我们可以提取其部分列。

输出：

实际上也可以直接使用 reshape 进行矩阵列的提取，这里只是介绍一下转置操作在 Numpy 中的用法。

数组切片仅是视图

数组切片仅仅只是视图

与 Python 列表和 Matlab 不同，Numpy 数组的切片仅仅是原数组的一个视图。换言之，Numpy 切片并不会创建新的变量。

输出：

如果一个几百万条数据的数组，每次切片时都创建一个新变量，势必造成大量的内存浪费。因此，Numpy的切片被设计为原数组的视图是极好的。

深度学习中为了节省内存，将多次使用 arr[:] = <表达式> 来替代 arr = <表达式> 。

备份切片为新变量

如果真的需要为切片创建新变量（这种情况是很稀少的），使用 .copy() 方法。

输出：

数组赋值仅是绑定

数组赋值仅仅是绑定

与 Numpy 数组的切片一样，Numpy 数组完整的赋值给另一个数组，也只是绑定。换言之，Numpy 数组之间的赋值并不会创建新的变量，示例如下。

输出：

此特性的出现依然是为了节省内存，破局的方法仍然与前面相同。

复制数组为新变量

如果真的需要赋给一个新数组，使用 .copy() 方法。

输出：

数组的变形

数组的转置

数组的转置方法为 .T，其只对矩阵有效，因此遇到向量要先将其转化为矩阵。

向量的转置

输出：

矩阵的转置

行矩阵的转置刚演示了，列矩阵的转置如示例所示。

输出：

矩阵的转置如示例所示。

输出：

数组的翻转

数组的翻转方法有两个，一个是上下翻转的 np.flipud( ) ，表示 up-down；一个是左右翻转的 np.fliplr( )，表示 left-right。其中，向量只能使用 np.flipud( )，在数学中，向量并不是横着排的，而是竖着排的。

向量的翻转

输出：

矩阵的翻转

输出：

数组的重塑

想要重塑数组的形状，需要用到 .reshape( ) 方法。

前面说过，给定了其他维度的数值，剩下一个维度可以填-1，让它自己去计算。比如把一个 5 行 6 列的矩阵重塑为 3 行 10 列的矩阵，当列的参数 10 告诉它，行的参数直接可以用-1 来替代，它会自己去用 30 除以 10 来计算。

向量的变形

输出：

矩阵的变形

输出：

数组的拼接

向量的拼接

两个向量拼接，将得到一个新的加长版向量。

输出：

矩阵的拼接

两个矩阵可以按不同的维度进行拼接，但拼接时必须注意维度的吻合。

输出：

最后要说明的是，向量和矩阵不能进行拼接，必须先把向量升级为矩阵。

数组的分裂

向量的分裂

向量分裂，将得到若干个更短的向量。

输出：

np.split() 函数中，给出的第二个参数 [2,8] 表示在索引 [2] 和索引 [8] 的位置截断。

矩阵的分裂

矩阵的分裂同样可以按不同的维度进行，分裂出来的均为矩阵。

输出：

数组的运算

数组与系数之间的运算

Python 基础中，常用的运算符如表 5-1 所示，NumPy 的运算符与之相同。

这里仅以矩阵为例，向量与系数的操作与之相同。

输出：

数组与数组之间的运算

同维度数组间的运算即对应元素之间的运算，这里仅以矩阵为例，向量与向量的操作与之相同。

输出：

上述乘法运算中，乘法是遵循对应元素相乘的，你可以称之为“逐元素乘积”。

那么如何实现线性代数中的“矩阵级乘法”呢？下一章节会介绍到相关函数。

广播

上一节是同形状数组之间的逐元素运算，本节讲解不同形状的数组之间的运算。

本课件仅讨论二维数组之内的情况，不同形状的数组之间的运算有以下规则：

⚫ 如果是向量与矩阵之间做运算，向量自动升级为行矩阵；

⚫ 如果某矩阵是行矩阵或列矩阵，则其被广播，以适配另一个矩阵的形状。

向量被广播

当一个形状为(x,y)的矩阵与一个向量做运算时，要求该向量的形状必须为 y，运算时向量会自动升级成形状为(1,y)的行矩阵，该形状为(1,y)的行矩阵再自动被广播为形状为(x,y)的矩阵，这样就与另一个矩阵的形状适配了。

输出：

列矩阵被广播

当一个形状为(x,y)的矩阵与一个列矩阵做运算时，要求该列矩阵的形状必须为(x,1)，该形状为(x,1)的列矩阵再自动被广播为形状为(x,y)的矩阵，这样就与另一个矩阵的形状适配了。

输出：

行矩阵与列矩阵同时被广播

当一个形状为(1,y)的行矩阵与一个形状为(x,1) 的列矩阵做运算时，这俩矩阵都会被自动广播为形状为(x,y)的矩阵，这样就互相适配了。

输出：

数组的函数

矩阵乘积

⚫ 第五章也就是上一章中的乘法都是“逐元素相乘”，这里介绍线性代数中的矩阵乘积，本节只需要使用 np.dot( ) 函数。

⚫ 当矩阵乘积中混有向量时，根据需求，其可充当行矩阵，也可充当列矩阵，但混有向量时输出结果必为向量。

向量与向量的乘积

设两个向量的形状按前后顺序分别是 5 以及 5 。从矩阵乘法的角度，有(1, 5)x(5, 1) = (1, 1)，因此输出的应该是形状为 1 的向量。

输出：

向量与矩阵的乘积

设向量的形状是 5，矩阵的形状是 (5,3) 。从矩阵乘法的角度，有(1,5)x(5,3)=(1,3)，因此输出的应该是形状为 3 的向量。

输出：

矩阵与向量的乘积

设矩阵的形状是 (3,5) ，向量的形状是 5。从矩阵乘法的角度，有(3,5)x(5,1)=(3,1)，因此输出的应该是形状为 3 的向量。

输出：

矩阵与矩阵的乘积

设两个矩阵的形状按前后顺序分别是 (5,2) 以及 (2,8) 。从矩阵乘法的角度，有(5,2)x(2,8)=(5,8)，因此输出的应该是形状为 (5,8) 的矩阵。

输出：

数学函数

NumPy 设计了很多数学函数，这里列举其中最重要、最常见的几个。

输出：

聚合函数

聚合很有用，这里用矩阵演示。向量与之一致，但没有 axis 参数。以下在注释中介绍了 6 个最重要的聚合函数，其用法完全一致，仅演示其中 3 个。

输出：

⚫ 当 axis=0 时，最终结果与每一行的元素个数一致；当 axis=1 时，最终结果与每一列的元素个数一致。

⚫ 考虑到大型数组难免有缺失值，以上聚合函数碰到缺失值时会报错，因此出现了聚合函数的安全版本，即计算时忽略缺失值：np.nansum( )、np.nanprod( ) 、np.nanmean( )、np.nanstd( )、np.nanmax( )、np.nanmin( )。

布尔型数组

除了整数型数组和浮点型数组，还有一种有用的数组类型——布尔型数组。

创建布尔型数组

由于 NumPy 的主要数据类型是整数型数组或浮点型数组，因此布尔型数组的产生离不开：大于>、大于等于>=、等于==、不等号!=、小于<、小于等于<=。

首先，我们将数组与系数作比较，以产生布尔型数组，示例如下。

输出：

其次，我们将同维数组作比较，以产生布尔型数组，示例如下。

输出：

最后，还可以同时比较多个条件。Python 基础里，同时检查多个条件使用的与、或、非是 and、or、not。但 NumPy 中使用的与、或、非是 & 、 | 、 ~ 。

输出：

布尔型数组中 True 的数量

有三个关于 Ture 数量的有用函数，分别是 np.sum( )、np.any( )、np.all( )。

np.sum( )函数：统计布尔型数组里 True 的个数。示例如下。

输出：

在上面的示例中，np.abs(arr) <1 可以替换为 (arr>-1) & (arr<1) 。此外，最终统计的数量为 6790，其概率近似为 0.6827，这符合统计学中的 3σ 准则。

np.any( )函数：只要布尔型数组里含有一个及其以上的 True，就返回 True。

输出：

从结果来看，arr1 与 arr2 里含有共同元素，那就是 5。

np.all( )函数：当布尔型数组里全是 True 时，才返回 True，示例如下。

输出：

从结果来看，尽管 3σ 准则告诉我们有 99.73%的考生成绩高于 290 分（290通过500-3x70计算得到），但仍然有最终成绩低于 250 分的裸考者。

布尔型数组作为掩码

若一个普通数组和一个布尔型数组的维度相同，可以将布尔型数组作为普通数组的掩码，这样可以对普通数组中的元素作筛选。给出两个示例。

第一个示例，筛选出数组中大于、等于或小于某个数字的元素。

输出：

注意，这个矩阵进行掩码操作后，退化为了向量。

第二个示例，筛选出数组逐元素比较的结果。

输出：

满足条件的元素所在位置

现在我们来思考一种情况：假设一个很长的数组，我想知道满足某个条件的元素们所在的索引位置，此时使用 np.where( ) 函数。

输出：

np.where( ) 函数的输出看起来比较怪异，它是输出了一个元组。元组第一个元素是“满足条件的元素所在位置”；第二个元素是数组类型，可忽略掉。

从数组到张量

最后总结一下，PyTorch 作为当前首屈一指的深度学习库，其将 NumPy 的语法尽数吸收，作为自己处理数组的基本语法，且运算速度从使用 CPU 的数组进步到使用 GPU 的张量。

⚫ NumPy 和 PyTorch 的基础语法几乎一致，具体表现为：

① np 对应 torch；
② 数组 array 对应张量 tensor；
③ NumPy 的 n 维数组对应着 PyTorch 的 n 阶张量。

⚫ 数组与张量之间可以相互转换：
数组 arr 转为张量 ts：ts = torch.tensor(arr)；
张量 ts 转为数组 arr：arr = np.array(ts)。