算法复杂度

1. 数据结构前言

1.1 数据结构

1.2 算法

2. 算法效率

2.1 复杂度的概念

3. 时间复杂度

3.1 大O的渐进表示法

3.2 时间复杂度计算示例:

3.2.1 示例1

3.2.2 示例2

3.2.3 示例3

3.2.4 示例4

3.2.6 示例6

4. 空间复杂度

4.1 空间复杂度计算示例

4.1.1 示例1

4.1.2 示例2

5. 常见复杂度对比

6. 复杂度算法题

6.1 旋转数组

6.1.1 思路1:

6.1.2 思路2:

6.1.3 思路3:

1. 数据结构前言

1.1 数据结构

数据结构(DataStructure)是计算机存储,组织数据的方式,指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有一种单一的数据结构对所有用途都有用,所以我们要学各式各样的数据结构,
如：线性表、树、图、哈希等

数据结构由两个词组成,数据,结构,数据就像我们打开网页,看到的一些新闻,看到的一些数字这些都可以被称为是数据,那么数据的话需要有一个结构来管理起来,所以就被称为数据结构。

就比如在C语言中,我要创建1000个变量,我是不可能一个一个的创建的,当学完数组这样的结构之后数组可以保存大量的同类型的数据,比如定义一个整型数组,int arr[1000]这样的数组里面就可以保存1000个整型数据,创建一个字符数组char ch[1000]这样的数组就可以保存1000个字符类型的数据,有了数组这样的结构之后我就可以把同类型的数据在这一个数组里面管理起来,所以才有了第一个最基础的数据结构,数组。

1.2 算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程,他取一个或一组的值为输入,并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤,用来将输入数据转化成输出结果。

所以数据结构就是用来存储数据,而算法就是一个工具,能够帮助我们更好的从容器里面取数据,数据结构和算法不分家,有数据结构的地方一定有算法,有算法的地方也有数据结构。

2. 算法效率

如何衡量一个算法的好坏呢？

案例：旋转数组 . - 力扣（LeetCode）

思路：循环K次将数组所有元素向后移动一位

我们将写好的代码放到OJ平台上。

我们可以看到点击运行我们的代码可以通过。

代码点击执行可以通过，然而点击提交却无法通过，38个测试用例只通过了37个,原因就是超出时间限制,那该如何衡量其好与坏呢？

衡量一个算法的好坏我们要通过复杂度来衡量。

2.1 复杂度的概念

算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

摩尔定律:随着时代的发展,计算机已经得到了非常高的提升,不需要过多的去关注空间,每过16~24个月,计算机的性能翻一番。

3. 时间复杂度

定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数式T(N),它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率,那么为什么不去计算程序的运行时间呢？

1. 因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系,比如同一个算法程序,用一个老编译
器进行编译和新编译器编译,在同样机器下运行时间不同。
2. 同一个算法程序,用一个老低配置机器和新高配置机器,运行时间也不同。
3. 并且时间只能程序写好后测试,不能写程序前通过理论思想计算评估。

那么算法的时间复杂度是一个函数式T(N)到底是什么呢？这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过c语言编译链接章节学习,我们知道算法程序被编译后生成二进制指令,程序运行,就是cpu执行这些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本一样(实际中有差别，但是微乎其微),那么执行次数和运行时间就是等比正相关,这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决一个问题的算法a程序T(N)=N,算法b程序T(N)=N^2，那么算法a的效率一定优于算法b。

案例:

我们知道时间复杂度是根据语句的执行次数来确定的。

那么下面这道代码的时间复杂度该如何计算呢?

void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}
}

原本那些运行一次的就忽略不计,所以它是一个粗估,再把2N+10去掉,这里也是一个粗估,而时间复杂度并不是用T(N)来表示的。

实际中我们计算时间复杂度时,计算的也不是程序的精确的执行次数,精确执行次数计算起来还是很麻烦的(不同的一句程序代码,编译出的指令条数都是不一样的),计算出精确的执行次数意义也不大,因为我么计算时间复杂度只是想比较算法程序的增⻓量级,也就是当N不断变大时T(N)的差别,上面我们已经看到了当N不断变大时常数和低阶项对结果的影响很小,所以我们只需要计算程序能代表增⻓量级的大概执行次数,复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

3.1 大O的渐进表示法

大O符号(BigOnotation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。

通过以上方法，可以得到 Func1 的时间复杂度为: O(N^2)。

3.2 时间复杂度计算示例:

3.2.1 示例1

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

3.2.2 示例2

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

3.2.3 示例3

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

3.2.4 示例4

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character)
{const char* p_begin = str;while (*p_begin != character){if (*p_begin == '\0')return NULL;p_begin++;}return p_begin;
}

3.2.5 示例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

3.2.6 示例6

// 计算func5的时间复杂度?
void func5(int n)
{int cnt = 1;while (cnt < n){cnt *= 2;}
}

3.2.7 示例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{if (0 == N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

单次递归的时间复杂度*递归次数

4. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为常规情况每个对象大小差异不会很大,所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似,也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数,局部变量,一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

4.1 空间复杂度计算示例

4.1.1 示例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

4.1.2 示例2

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if (N == 0)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

5. 常见复杂度对比

从表中和图中我们就可以看出logn这一列随着n的增长它的复杂度变化是非常小的,而最后一个n!,当n是128的时候就已经是无穷大了。所以复杂度跟这里的n的变化是有关系的,而不同的复杂度随着n的增加它的变化趋势是不一样的,对于logn来说它的变化趋势非常的缓,而对于2^n和n!来说它变化的趋势非常的抖,变化的很快。

6. 复杂度算法题

6.1 旋转数组

. - 力扣（LeetCode）

6.1.1 思路1:

时间复杂度O(n^2)

循环K次将数组所有元素向后移动一位(代码不通过)

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{while (k--)//向右轮转几次就循环几次{//保存数组中最后一个数据int end = nums[numsSize - 1];//数组中所有数据整体右移一位for (int i = numsSize - 1; i > 0; i--){nums[i] = nums[i-1];}//数据中最后一个数据挪到第一位nums[0] = end;}
}

代码没有任何问题,只是这道题对时间有限制。

那我们就得重新修改一下算法,让时间复杂度为O(N),也就是说只需要一层循环就可以了。

6.1.2 思路2:

空间复杂度O(n)

申请新数组空间,先将后k个数据放到新数组中,再将剩下的数据挪到新数组中,然后将新数组中的数据重新挪到原数组中。

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{int newnums[numsSize];//申请新的数组for (int i = 0; i < numsSize; i++){newnums[(i + k) % numsSize] = nums[i];}for (int i = 0; i < numsSize; i++){nums[i] = newnums[i];}}

6.1.3 思路3:

空间复杂度O(1)

前n-k个逆置:4 3 2 1 5 6 7

后k个逆置:4 3 2 1 7 6 5

整体逆置:5 6 7 1 2 3 4

void reverse(int* nums, int left, int right)
{while (left < right){int tmp = nums[left];nums[left] = nums[right];nums[right] = tmp;left++;right--;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{k %= numsSize;//前n-k个数据逆置reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);//后k个数据逆置reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);//整体逆置reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}