图论·Day01

P3371
P4779

P3371 【模板】单源最短路径(弱化版)

注意的点:

  • 边有重复,选择最小边!
  • 对于SPFA算法容易出现重大BUG,没有负权值的边时不要使用!!!

70分代码 朴素板dijsktra

  • 爆空间
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, s, u, v, w;
void solve() {cin >> n >> m >> s;vector<vector<int>>grid(n + 9, vector<int>(n + 9, INT_MAX));vector<int>dist(n + 9, INT_MAX);vector<bool>visited(n + 9, false);while (m--) {cin >> u >> v >> w;grid[u][v] = min(grid[u][v], w);}dist[s] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {int cur = 1;int minDist = INT_MAX;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!visited[j] && dist[j] < minDist) {minDist = dist[j];cur = j;}}visited[cur] = true;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!visited[j] && grid[cur][j] != INT_MAX && dist[cur] + grid[cur][j] < dist[j]) {dist[j] = dist[cur] + grid[cur][j];}}/*cout << "select " << cur << endl;for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << dist[i] << " ";}cout << endl;*/}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << dist[i] << " ";}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

32分代码 SPFA

  • 因为有重复指向的边,所有理论上边数可以无穷大,O(KM)的时间复杂度不确定性极大!
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, s, u, v, w;
struct Edge {int v, w;Edge(int a, int b) :v(a), w(b) {}
};
void solve() {cin >> n >> m >> s;vector<list<Edge>>grid(n + 9, list<Edge>());vector<int>dist(n + 9, INT_MAX); dist[s] = 0;queue<Edge>q;while (m--) {cin >> u >> v >> w;grid[u].push_back(Edge(v, w));}q.push({ s,0 });while (!q.empty()) {Edge cur = q.front();q.pop();for (auto item : grid[cur.v]) {if (item.w + dist[cur.v] < dist[item.v]) {dist[item.v] = dist[cur.v] + item.w;q.push(item);}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << dist[i] << " ";}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

AC代码 堆优化dijsktra

  • 重复的边不影响
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, s, u, v, w;
struct Edge {int v, w;Edge(int a, int b) :v(a), w(b) {}
};
class cmp {
public:bool operator()(const Edge& a, const Edge& b) {return a.w > b.w;//从小排序}
};void solve() {cin >> n >> m >> s;vector<list<Edge>>grid(n + 9, list<Edge>());vector<int>dist(n + 9, INT_MAX); dist[s] = 0;vector<bool>visited(n + 9, false);priority_queue<Edge, vector<Edge>, cmp>q;while (m--) {cin >> u >> v >> w;grid[u].push_back(Edge(v, w));}q.push({ s,0 });while (!q.empty()) {Edge cur = q.top();q.pop();if (visited[cur.v]) {continue;}visited[cur.v] = true;for (auto item : grid[cur.v]) {if (!visited[item.v]&&item.w + dist[cur.v] < dist[item.v]) {dist[item.v] = item.w + dist[cur.v];q.push({ item.v,dist[item.v] });}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << dist[i] << " ";}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

P1144

最短路计数

题目描述

给出一个 N N N 个顶点 M M M 条边的无向无权图,顶点编号为 1 ∼ N 1\sim N 1N。问从顶点 1 1 1 开始,到其他每个点的最短路有几条。

输入格式

第一行包含 2 2 2 个正整数 N , M N,M N,M,为图的顶点数与边数。

接下来 M M M 行,每行 2 2 2 个正整数 x , y x,y x,y,表示有一条连接顶点 x x x 和顶点 y y y 的边,请注意可能有自环与重边。

输出格式

N N N 行,每行一个非负整数,第 i i i 行输出从顶点 1 1 1 到顶点 i i i 有多少条不同的最短路,由于答案有可能会很大,你只需要输出 $ ans \bmod 100003$ 后的结果即可。如果无法到达顶点 i i i 则输出 0 0 0

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ N ≤ 1 0 6 1\le N\le10^6 1N106 1 ≤ M ≤ 2 × 1 0 6 1\le M\le 2\times 10^6 1M2×106

AC题解 堆优化dijsktra

  • 多一段条件判断,不加入堆但是也起到了统计作用
else if (dist[cur.v] + item.w == dist[item.v]) {ct[item.v] += ct[cur.v];ct[item.v] %= 100003;}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m, x, y;
struct Edge {int v, w;Edge(int a, int b) :v(a), w(b) {};
};
class cmp {
public:bool operator()(const Edge& a, const Edge& b) {return a.w > b.w;}
};
priority_queue<Edge,vector<Edge>,cmp>q;
void solve() {cin >> n >> m;vector<list<Edge>>grid(n+ 9, list<Edge>());vector<bool>visited(n+ 9, false);vector<int>dist(n+9, INT_MAX);vector<int>ct(n+9, 0);while (m--) {cin >> x >> y;grid[x].push_back(Edge(y, 1));grid[y].push_back(Edge(x, 1));}dist[1] = 0; ct[1] = 1;q.push({ 1,0 });while (!q.empty()) {Edge cur=q.top();q.pop();if (visited[cur.v]) {continue;}visited[cur.v] = true;for (auto item : grid[cur.v]) {if (dist[cur.v] + item.w < dist[item.v]) {dist[item.v] = dist[cur.v] + item.w;ct[item.v] = ct[cur.v];q.push({ item.v,dist[item.v] });}else if (dist[cur.v] + item.w == dist[item.v]) {ct[item.v] += ct[cur.v];ct[item.v] %= 100003;}}}//for (int i = 1; i <= n; i++) {//    cout << dist[i] << " ";//}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << ct[i] << endl;}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

P5905

【模板】全源最短路(Johnson)

题目描述

给定一个包含 n n n 个结点和 m m m 条带权边的有向图,求所有点对间的最短路径长度,一条路径的长度定义为这条路径上所有边的权值和。

注意:

  1. 边权可能为负,且图中可能存在重边和自环;

  2. 部分数据卡 n n n 轮 SPFA 算法。

输入格式

1 1 1 行: 2 2 2 个整数 n , m n,m n,m,表示给定有向图的结点数量和有向边数量。

接下来 m m m 行:每行 3 3 3 个整数 u , v , w u,v,w u,v,w,表示有一条权值为 w w w 的有向边从编号为 u u u 的结点连向编号为 v v v 的结点。

输出格式

若图中存在负环,输出仅一行 − 1 -1 1

若图中不存在负环:

输出 n n n 行:令 d i s i , j dis_{i,j} disi,j 为从 i i i j j j 的最短路,在第 i i i 行输出 ∑ j = 1 n j × d i s i , j \sum\limits_{j=1}^n j\times dis_{i,j} j=1nj×disi,j,注意这个结果可能超过 int 存储范围。

如果不存在从 i i i j j j 的路径,则 d i s i , j = 1 0 9 dis_{i,j}=10^9 disi,j=109;如果 i = j i=j i=j,则 d i s i , j = 0 dis_{i,j}=0 disi,j=0

右图为样例 2 2 2 给出的有向图,红色标注的边构成了负环,注意给出的图不一定连通。

Johnson算法

  • 数据溢出longlong的转换
  • h[item.v] = h[cur.v] + item.w;这段代码是Johnson算法的精髓,势能函数
  • dist[j] + h[j] - h[st]由于路径上每一个边<i,j>都加入了h[i]-h[j],所以最短距离应该要 + 末位 - 首位,才是最终距离!
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m;
ll u,v,w;
void dijsktra(int st,vector<ll>dist);
struct Edge {ll v, w;Edge(ll a, ll b) :v(a), w(b) {};
};
class cmp {
public:bool operator()(const Edge& a, const Edge& b) {return a.w > b.w;}
};
ll inf = ll(1e9);
queue<Edge>q;
vector<int>ct(3009, 0);
vector<list<Edge>>edges(3009, list<Edge>());
vector<ll>h(3009, inf);vector<ll>dist(3009, inf);
priority_queue<Edge, vector<Edge>, cmp>s;
bool visited[3009];
void solve() {cin >> n >> m;while(m--) {cin >> u >> v >> w;edges[u].push_back({ v,w });}for (int i = 1; i <= n; i++) {edges[0].push_back({ i,0 });}h[0] = 0;q.push({ 0,0 }); ct[0] = 1;while (!q.empty()) {Edge cur = q.front();q.pop();if (ct[cur.v] >= n) {cout << -1;return;}for (auto item : edges[cur.v]) {if (h[cur.v] + item.w < h[item.v]) {h[item.v] = h[cur.v] + item.w;ct[item.v] ++;q.push(item);              }}}/*  cout << "h" << endl;for (int i = 0; i <= n; i++) {cout << h[i]<<" ";}cout << endl;*//*重组edges数组*/for (int i = 1; i <= n; i++) {for (auto& item : edges[i]) {item.w = item.w+h[i] - h[item.v];}}for (int i = 1; i <= n; i++) {dijsktra(i,dist);}
}
void dijsktra(int st,vector<ll>dist) {memset(visited, false, sizeof(visited));dist[st] = 0; s.push({ st,0 });while (!s.empty()) {Edge cur = s.top();s.pop();if (visited[cur.v]) {continue;}visited[cur.v] = true;for (auto item : edges[cur.v]) {if (!visited[item.v]&&dist[cur.v] + item.w < dist[item.v]) {dist[item.v] = item.w+ dist[cur.v];s.push({ item.v,dist[item.v] });}}}/*for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << dist[i] << " ";}cout << endl;*/ll ans = 0;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (dist[j] == inf) {ans += ll(j) * dist[j];}else {ans += ll(j) * (dist[j] + h[j] - h[st]);}}cout << ans << endl;
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

今日总结

  • dijsktra不能用于负权值
  • Bellman可以用于检测负权回路
  • SFPA算法不要轻易用!容易爆死!
  • Floyd 算法时间复杂度O(n3),dijsktra O(mlogm),Johnson算法时间复杂度接近 O(nmlogn),相当于用SFPA扫除了dijsktra不能求负权值边的障碍,最终还是要归结于dijsktra算法堆优化版来!说人话就是Bellman和SFPA太慢,dijsktra用不了,所以采用Johnson算法!

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