数据结构第10节：平衡树

平衡树是一种特殊的二叉搜索树，它的设计目的是为了保持树的平衡，从而保证所有操作的时间复杂度保持在O(log n)，即使在最坏的情况下也是如此。最常见的平衡树之一是AVL树，它是以发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名的。

在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别不超过1。这意味着AVL树总是尽可能地保持平衡，从而优化了搜索、插入和删除操作的效率。

AVL树的关键概念：

  1. 平衡因子：一个节点的平衡因子是其右子树的高度减去其左子树的高度。平衡因子可以是-1、0或1。

  2. 旋转：当插入或删除操作破坏了树的平衡时，AVL树会执行一系列的旋转操作来重新平衡树。旋转分为以下几种：

    • 单旋转：右旋（Right Rotation）和左旋（Left Rotation）。
    • 双旋转：右旋后再左旋（Right-Left Rotation）或左旋后再右旋（Left-Right Rotation）。

Java实现案例：

我们可以通过下面的Java代码来实现一个基本的AVL树：

public class AVLTree<T extends Comparable<T>> {private Node<T> root;private static class Node<T> {T data;Node<T> left, right;int height;Node(T data) {this.data = data;height = 1;}}private int height(Node<T> N) {if (N == null)return 0;return N.height;}private int getBalance(Node<T> N) {if (N == null)return 0;return height(N.right) - height(N.left);}private Node<T> rightRotate(Node<T> y) {Node<T> x = y.left;Node<T> T2 = x.right;x.right = y;y.left = T2;y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;return x;}private Node<T> leftRotate(Node<T> x) {Node<T> y = x.right;Node<T> T2 = y.left;y.left = x;x.right = T2;x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;return y;}private Node<T> insert(Node<T> node, T key) {if (node == null)return new Node<>(key);if (key.compareTo(node.data) < 0)node.left = insert(node.left, key);else if (key.compareTo(node.data) > 0)node.right = insert(node.right, key);elsereturn node;node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));int balance = getBalance(node);// Left Left Caseif (balance > 1 && key.compareTo(node.left.data) < 0)return rightRotate(node);// Right Right Caseif (balance < -1 && key.compareTo(node.right.data) > 0)return leftRotate(node);// Left Right Caseif (balance > 1 && key.compareTo(node.left.data) > 0) {node.left = leftRotate(node.left);return rightRotate(node);}// Right Left Caseif (balance < -1 && key.compareTo(node.right.data) < 0) {node.right = rightRotate(node.right);return leftRotate(node);}return node;}public void insert(T key) {root = insert(root, key);}// ... 其他方法如删除、查找、遍历等
}

应用案例：

假设我们要构建一个AVL树来存储一组整数，并保持树的平衡状态。我们可以这样使用：

public class Main {public static void main(String[] args) {AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();avlTree.insert(10);avlTree.insert(20);avlTree.insert(30);avlTree.insert(40);avlTree.insert(50);avlTree.insert(25);// 在此之后，avlTree应该是一个平衡的AVL树}
}

以上代码展示了如何使用AVL树插入一些整数值，并自动调整树的平衡。在实际应用中，AVL树可以用于各种需要高效搜索、插入和删除操作的场景，比如数据库索引、符号表等。

下面，我将补充AVL树的删除、查找以及遍历方法。

删除操作

删除操作在AVL树中比较复杂，因为它涉及到保持树的平衡。在删除节点后，需要检查并修复可能的不平衡。

private Node<T> delete(Node<T> root, T key) {if (root == null)return root;if (key.compareTo(root.data) < 0)root.left = delete(root.left, key);else if (key.compareTo(root.data) > 0)root.right = delete(root.right, key);else {if (root.left == null)return root.right;else if (root.right == null)return root.left;root.data = minValue(root.right);root.right = delete(root.right, root.data);}root.height = Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;int balance = getBalance(root);if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0)return rightRotate(root);if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0)return leftRotate(root);if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) {root.left = leftRotate(root.left);return rightRotate(root);}if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) {root.right = rightRotate(root.right);return leftRotate(root);}return root;
}private T minValue(Node<T> node) {T minv = node.data;while (node.left != null) {minv = node.left.data;node = node.left;}return minv;
}

查找操作

查找操作在AVL树中相对简单，遵循二叉搜索树的查找规则。

public boolean contains(T key) {return search(root, key) != null;
}private Node<T> search(Node<T> node, T key) {if (node == null || key.equals(node.data))return node;if (key.compareTo(node.data) < 0)return search(node.left, key);elsereturn search(node.right, key);
}

遍历操作

遍历操作包括前序遍历、中序遍历和后序遍历，这里展示中序遍历。

public void inorderTraversal() {inorder(root);
}private void inorder(Node<T> node) {if (node != null) {inorder(node.left);System.out.print(node.data + " ");inorder(node.right);}
}

主方法使用示例

将上述代码整合进AVLTree类中，然后在main方法中使用：

public class Main {public static void main(String[] args) {AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();avlTree.insert(10);avlTree.insert(20);avlTree.insert(30);avlTree.insert(40);avlTree.insert(50);avlTree.insert(25);System.out.println("Inorder traversal of the constructed AVL tree is");avlTree.inorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Deleting key 40");avlTree.delete(40);System.out.println("Inorder traversal after deletion is");avlTree.inorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Searching for key 25: " + avlTree.contains(25));System.out.println("Searching for key 60: " + avlTree.contains(60));}
}

这段代码演示了如何插入元素、遍历AVL树、删除元素以及查找元素。

以下是前序遍历和后序遍历的代码实现，我们将它们添加到之前的AVLTree类中：

前序遍历

前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

public void preorderTraversal() {preorder(root);
}private void preorder(Node<T> node) {if (node != null) {System.out.print(node.data + " ");preorder(node.left);preorder(node.right);}
}

后序遍历

后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

public void postorderTraversal() {postorder(root);
}private void postorder(Node<T> node) {if (node != null) {postorder(node.left);postorder(node.right);System.out.print(node.data + " ");}
}

更新主方法示例

我们更新main方法来演示这些遍历方法：

public class Main {public static void main(String[] args) {AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();avlTree.insert(10);avlTree.insert(20);avlTree.insert(30);avlTree.insert(40);avlTree.insert(50);avlTree.insert(25);System.out.println("Inorder traversal of the constructed AVL tree is");avlTree.inorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Preorder traversal of the constructed AVL tree is");avlTree.preorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Postorder traversal of the constructed AVL tree is");avlTree.postorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Deleting key 40");avlTree.delete(40);System.out.println("Inorder traversal after deletion is");avlTree.inorderTraversal();System.out.println();System.out.println("Searching for key 25: " + avlTree.contains(25));System.out.println("Searching for key 60: " + avlTree.contains(60));}
}

这段代码展示了如何使用AVL树的各种遍历方法，包括中序遍历、前序遍历和后序遍历，以及插入、删除和查找操作。

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