【抽代复习笔记】26-群(二十):子群的定义以及第一、第二判定定理

子群

定义1:(G,o)是一个群,H是G的非空子集,若H关于G的乘法o也能作成群(满足群的判定定理:封闭性、结合律、单位元、逆元),则称H为G的子群,记作H ≤ G;若H是G的真子集,即H⊊G,那么也称H是G的真子群,记作H<G。

 

设(G,o)是一个群,e是G中的单位元,则{e} ≤ G,G ≤ G,即由单位元自身构成的集合、以及G本身都是G的子群,这两个子群称为G的“平凡子群”。

 

例1:证明,

(1)(Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+) ≤ (C,+);

(2)(Q*,×) ≤ (R*,×) ≤ (C*,×)(*表示“非零”)。

证:只证(1)中的(Z,+) ≤ (Q,+),其它证法类似:

整数都是有理数,所以Z⊆Q;下面证明Z关于整数加法+作成群:

①任意a,b∈Z,a+b∈Z,且整数的加法运算适合结合律,所以满足了群公理的第一第二条;

②对于0∈Z以及任意a∈Z,都有0+a = a,所以0是(Z,+)中的单位元,因此满足了群公理的第四条;

③对任意的a∈Z,存在-a∈Z,满足a+(-a) = 0,即a与-a互为逆元,因此也满足了群公理的第五条,

因此,由群的第二判定定理,Z关于+作成群,

综上所述,根据子群的定义,可知(Z,+) ≤ (Q,+)。

 

定理1(子群的第一判定定理):

若(G,o)是一个群,H是G的非空子集,则H ≤ G当且仅当:

(1)对任意a,b∈H,(a o b)∈H;

(2)由a∈H,可推出a的逆元a^(-1)∈H。

证:必要性:由子群的定义知必要性是显然的,即若H ≤ G,则H关于o肯定满足群公理的第一条(封闭性)和第五条(存在逆元),因此肯定满足(1)和(2);

充分性:若(1)和(2)成立,下证H ≤ G:

首先,(1)表明群公理第一条封闭性成立;其次,而H是G的子集,因此由G中元素适合结合律(G是一个群,肯定要适合结合律)可推出H中元素也适合结合律,所以也满足了群公理第二条;

再者,根据(2),由a∈H可推出a^(-1)∈H,而因为a,a^(-1)∈H,所以根据(1),[a o a^(-1)]∈H,

且H是G的子集,所以a,a^(-1)∈G,而(G,o)又是一个群,所以a o a^(-1) = e,

所以a o a^(-1) = e∈H,即H中存在单位元,且a,a^(-1)互为逆元,所以也满足了群公理的第四、第五条,

因此,根据群的第二判定定理,H关于o作成群,

综上所述,H ≤ G。

 

推论:设H ≤ G,则

①子群H中的单位元e(H)和群G中的单位元e(G)一样,即

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②对任意a∈H,a在H中的逆元a(H)^(-1)和a在G中的逆元a(G)^(-1)一样,即

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定理2(子群的第二判定定理):

若(G,o)是一个群,H是G的非空子集,则H ≤ G <=> 对任意的a,b∈H,有[a o b^(-1)]∈H。

证:必要性:根据子群第一判定定理中的(2),若H ≤ G,则对任意的a,b∈H,有b^(-1)∈H;有因为a,b^(-1)∈H,所以根据子群第一判定定理中的(1),有a o b^(-1)∈H。

充分性:若对任意的a,b∈H,有[a o b^(-1)]∈H,则:

①当a = b时,a o a^(-1) = e∈H;

②当a = e,b = a时,有e o a^(-1) = a^(-1)∈H,这证明了子群第一判定定理中的(2);

③对任意的a,b∈H,由②知b^(-1)∈H,从而a o b = a o [b^(-1)]^(-1)∈H,这证明了子群第一判定定理中的(1),

所以根据子群的第一判定定理,可得H ≤ G。

 

(待续……)

 

 

 

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