用质因数求解最大公约数（gcd）
思路分析：
1、质因数：(素因数或质因子)他指的是能整除给定正整数的质数。例如：36可以分解为223*3，其中2和3就是质因数。
2、质因数求解最大公约数：
对每个数进行质因数分解；
找出所有数的共有质因数，并取每个共有质因数的最低次幂；
将这些最低次幂的质因数想乘，得到的结果就是这些数的最大公约数。
gcd（a，b）=pi的min（ai，bi）次方 * pj的min（aj，bj）次方
code：
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <cmath>// 辅助函数：检查一个数是否是质数
bool is_prime(int n) {if (n <= 1) return false;if (n <= 3) return true;if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false;for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)return false;}return true;
}// 辅助函数：找到并返回一个数的所有质因数及其次数
std::unordered_map<int, int> find_prime_factors(int n) {std::unordered_map<int, int> factors;for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) {while (n % i == 0) {factors[i]++;n /= i;}}// 如果n仍然大于1，那么它本身就是一个质数if (n > 1) {factors[n] = 1;}return factors;
}// 使用质因数分解来求解最大公约数
int gcd_by_prime_factors(int a, int b) {std::unordered_map<int, int> factors_a = find_prime_factors(a);std::unordered_map<int, int> factors_b = find_prime_factors(b);int gcd = 1;for (const auto& factor_a : factors_a) {int prime = factor_a.first;int count_a = factor_a.second;// 查找b的质因数中是否有prime，并取其最小次数auto iter_b = factors_b.find(prime);if (iter_b != factors_b.end()) {int count_b = iter_b->second;int min_count = std::min(count_a, count_b);gcd *= std::pow(prime, min_count);}}// 还需要考虑b中独有的质因数（如果a中没有的话）for (const auto& factor_b : factors_b) {if (factors_a.find(factor_b.first) == factors_a.end()) {int prime = factor_b.first;int count_b = factor_b.second;// 但由于我们只关心共有的质因数，所以这里不增加gcd}}return gcd;
}int main() {int a = 24;int b = 36;std::cout << "GCD of " << a << " and " << b << " is: " << gcd_by_prime_factors(a, b) << std::endl;return 0;
}
用质因数求解最小公倍数（lcm）
思路分析：
1、质因数：(素因数或质因子)他指的是能整除给定正整数的质数。例如：36可以分解为223*3，其中2和3就是质因数。
2、质因数求解最小公倍数：
对每个数进行质因数分解；
找出所有数的共有质因数，并取每个共有质因数的最高次幂；
将这些最高次幂的质因数想乘，得到的结果就是这些数的最小公倍数。
lcm（a，b）=pi的max（ai，bi）次方 * pj的max（aj，bj）次方
code：
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <cmath>// 辅助函数：找到并返回一个数的所有质因数及其次数
std::unordered_map<int, int> find_prime_factors(int n) {std::unordered_map<int, int> factors;for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) {while (n % i == 0) {factors[i]++;n /= i;}}// 如果n仍然大于1，那么它本身就是一个质数if (n > 1) {factors[n] = 1;}return factors;
}// 使用质因数分解来求解最小公倍数
int lcm_by_prime_factors(int a, int b) {std::unordered_map<int, int> factors_a = find_prime_factors(a);std::unordered_map<int, int> factors_b = find_prime_factors(b);// 合并两个数的质因数，取最大次数for (const auto& factor_b : factors_b) {factors_a[factor_b.first] = std::max(factors_a[factor_b.first], factor_b.second);}// 计算最小公倍数int lcm = 1;for (const auto& factor : factors_a) {lcm *= std::pow(factor.first, factor.second);}return lcm;
}int main() {int a = 24;int b = 36;std::cout << "LCM of " << a << " and " << b << " is: " << lcm_by_prime_factors(a, b) << std::endl;return 0;
}
介绍)
