图论·搜索最短路径

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搜索最短路径

在网格图中按照特定路线搜索，搜索方式基于bfs/dfs
需要搜索出一条源点与终点最短的路径

核心思路

无启发式函数：bfs/dfs+
有启发式函数：dijsktra算法,A*(Astar)…

个人理解

启发式函数：相当于根据点的权重，对搜索的方向有一定判断，不会盲目的搜索，减少了绝大部分的无用功。
启发式函数一般搭配优先级队列(堆)实现

A*算法

有启发式函数的搜索
效率和准确程度很大程度取决于启发式函数

常见启发式函数

欧拉距离：就是平方和，两点距离之差(x1-x2)^2 + (y1-y2) ^2
切比雪夫距离：没用过，有缘再更新
曼哈顿距离：没用过，有缘再更新

核心操作

权值的计算：F=G+H
- G:源点到当前点走过的距离(不是位移,而是路程),是一个真实值
- H:利用启发式函数计算得到的距离,是一个期望值
优先级队列：对于权值进行排序,同时实现基于BFS的搜索

个人代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int grid[1009][1009];
int n,a1,a2,b1,b2;
int dir[8][2] = { 2,1,1,2,-1,2,-2,1,-2,-1,-1,-2,1,-2,2,-1 };
struct knight {int x, y, g, h, f;//f=g+h,g起点到当前结点，h当前结点到终点
};
struct cmp {bool operator()(const knight& a, const knight& b) {return a.f > b.f;}
};
priority_queue<knight,vector<knight>,cmp>q;
int getDist(const int &x,const int &y,const int &b1,const int &b2) {return (x - b1) * (x - b1) + (y - b2) * (y - b2);
}
void bfs() {q.push({ a1,a2,0,getDist(0,0,b1,b2),getDist(0,0,b1,b2)});while (!q.empty()) {knight cur = q.top();q.pop();if (cur.x == b1 && cur.y == b2) {cout << grid[cur.x][cur.y] << endl;return;}knight next;for (int k = 0;k<8; k++) {next.x = cur.x + dir[k][0];next.y = cur.y + dir[k][1];if (next.x < 1 || next.x>1000 || next.y < 1 || next.y>1000) {continue;}if (!grid[next.x][next.y]) {grid[next.x][next.y] = grid[cur.x][cur.y] + 1;//更新距离,并且起到标记作用next.g = cur.g + 5;next.h = getDist(next.x, next.y, b1, b2);next.f = next.g + next.h;q.push(next);}       }}
}
void solve(){cin >> n;while (n--) {cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;memset(grid, 0, sizeof(grid));bfs();while (!q.empty()) {q.pop();}}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

注意事项

G是路程，利用next.g=getDist(next.x,next.y,a1,a2);计算与源点的距离是错误的
grid数组不建议使用vector数组，因为每次使用完都要memset
grid仍然需要标记：这里grid本身就可以起到标记作用
题目的步数可以直接由grid统计得到

A*算法空间优化-IDA

蜀黍不会，有缘更新

dijsktra作为启发式函数

核心操作

结构体:结构体的dist定义为源点与当前点的距离
队列:根据结构体的dist排序
dist数组的定义:定义dist数组是为了比较二者距离，判断是否应该更新(个人觉得比较累赘，但是不得不定义)

using namespace std;
using ll = long long;
vector<vector<int>>grid(1009, vector<int>(1009, 0));
int n,a1,a2,b1,b2;
int dir[8][2] = { 2,1,1,2,-1,2,-2,1,-2,-1,-1,-2,1,-2,2,-1 };
struct knight {int x, y, dist;
};
struct cmp {bool operator()(const knight&a,const knight&b) {return a.dist > b.dist;}
};
priority_queue<knight, vector<knight>, cmp>q;
vector<vector<int>>dist(1009, vector<int>(1009, INT_MAX));
void bfs(vector<vector<int>>dist) {dist[a1][a2] = 0;q.push({ a1,a2,dist[a1][a2]});while (!q.empty()) {knight cur=q.top();q.pop();if (cur.x == b1 && cur.y == b2) { cout << dist[cur.x][cur.y]<<endl;return;}knight next;for (int k = 0; k < 8; k++) {//相当于选点操作next.x = cur.x + dir[k][0];next.y = cur.y + dir[k][1];if (next.x < 1 || next.x>1000 ||next.y < 1 || next.y > 1000) {continue;}//因为题目说了一定能找到，所以可以没有visited数组的标记//相当于更新if (cur.dist + 1 < dist[next.x][next.y]) {//注意每走一步+1；dist数组也要更新dist[next.x][next.y] = cur.dist + 1;q.push({ next.x,next.y,dist[next.x][next.y] });}}}
}
void solve(){cin >> n;while (n--) {cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;bfs(dist);//传入dist数组作为形参while (!q.empty()) {q.pop();}}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}