近似算法–徐小华

近似算法作业

题目 1 k-center 近似算法

题目描述

问题 1：假设给定 $n$ 个指定的城市在一个平面图上，想要在不同的城市选择 $k$ 个城市建立 $k$ 个仓库，目标是最小化每个城市到最近仓库的最大距离。这意味着找到一组 $k$ 个顶点的集合，任意点到其集合中顶点的最大距离最小。给定一个算法来确定这 $k$ 个顶点的位置，该算法最多是最优解的 $3$ 倍，并且运行时间是 $O(n)$。

参考答案

解答

【贪心算法】反复选择 离任何现有中心最远的 site 作为下一个中心，其中，Center 必须在 site 中选择。

当 $k=1$ 时，即 第一个中心 Center，随机 从所有 site 中选择。

【时间复杂度】这个算法的运行时间是 $O(nk)$，

• 因为每次选择新的中心需要遍历所有的点，计算它们到已有中心的距离，然后找出最大的一个。
• 这个过程需要重复 $k$ 次，所以总的时间复杂度是 $O(nk)$。

如果 $k$ 是一个常数，那么这个算法的运行时间就是 $O(n)$。

【3-近似 证明】

假设 $r(C^{\ast })＜\frac{1}{2}r(C)$，

对于 $C$ 中的每个site $c_i$，考虑其周围半径为 $\frac{1}{2}r(C)$ 的球，

(1) 如果一个球里面没有 $C^{\ast }$ 中的中心 $c^{\ast }$，那么 $c_i$ 就不在 $C^{\ast }$ 中任何中心的 $\frac{1}{2}r(C)$ 内，这与 $r(C^{\ast })＜\frac{1}{2}r(C)$ 的假设相矛盾，因此每个球 至少有一个 $c^{\ast }$；

(2) 这些球是不相交的，每个球至少包含一个 $c^{\ast }$，并且 $|c|=|c^{\ast }|$，所以每个球 至多有一个 $c^{\ast }$ ；

由 (1)、(2) 可知，每个球正好有一个 $c_i^{\ast }$；

设 $c_i$ 为与 $c_i^{\ast }$ 配对的 site，考虑 $C^{\ast }$ 中的任何 site $s$ 及其最近的中心 $c_i^{\ast }$，

$s$ 到 $c_i$ 的距离可以用 三角不等式 分解为 $s$ 到 $c_i^{\ast }$ 的距离加上 $c_i^{\ast }$ 到 $c_i$ 的距离，而这两个距离都不会超过 $r(C^{\ast })$，因为 $c_i^{\ast }$ 是 $s$ 和 $c_i$ 最近的中心，因此

$dist(s,C)\le dist(s,c_i)\le dist(s,c_i^{\ast })+dist(c_i^{\ast },c_i)\le 2r(C^{\ast })$；

即 $r(C)\le 2r(C^{\ast })$，这与假设矛盾，因此 $r(C^{\ast })\ge \frac{1}{2}r(C)$，即 $r(C)\le 2r(C^{\ast })$，那么 $r(C)\le 3r(C^{\ast })$。

所以贪心算法是 Center selection problem 的 2-近似 算法，也是 3-近似 算法。

题目 2 均衡负载算法

题目描述

问题 2：假设有一个由 $m$ 个慢速机器和 $k$ 个快速机器。快速机器在单位时间内执行的工作量是慢速机器的两倍。现在你有一组 $n$ 个作业，每个作业 $i$ 需要时间 $t_i$ 在慢速机器上处理，在快速机器上处理时间只需要 $t_i/2$。你想将每个作业分配给一台机器，目标是最小化完成时间。给出一种 $O(n)$ 时间的 $3$ 倍近似算法。

参考答案

解答

【算法】

当每个作业到达时，将其放在当前最快结束的机器（需要考虑机器的速度）上。这是一个3-近似 算法。

【近似因子证明】

为了证明该算法的近似度，首先证明最优 makespan $T^{\ast }$ 的一些下界。

• $T^{\ast }\ge \frac{1}{2}{t}_i.$

证明：必定存在一台机器处理最耗时的作业。

• $T^{\ast }\ge \frac{{\sum }_i{t}_i}{m+2k}.$

证明：所有作业的总时间为 ${\sum }_i{t}_i$。设
$$t=\frac{{\sum }_i{t}_i}{m+2k}$$
假设作业可以分配给所有机器，使得每台慢速机器都有一组求和小于 $t$ 的作业，而每台快速机器都有一群求和小于 $2t$ 的作业，那么就会得到
$$\sum _i{t}_i<mt+2kt=\sum _i{t}_i$$
矛盾。因此，一些机器至少运行 $t$ 时间的作业，因此
$$T^{\ast }\ge \frac{{\sum }_i{t}_i}{m+2k}$$
考虑瓶颈机器 $j$ 的负载 $T[j]$，令 $k$ 是机器 $j$ 上的最后一个作业，安排作业 $k$ 时，机器 $j$ 的负载是最小的，如果该机器为快机器，则安排作业 $k$ 前的负载为
$$T[j]-\frac{t_k}{2}\le \frac{{\sum }_i{t}_i}{m+2k}\le T^{\ast }$$
那么，
$$\begin{array}{rl}T=T[j]& =(T[j]-\frac{t_k}{2})+\frac{t_k}{2}\\ & \le T^{\ast }+T^{\ast }\\ & =2T^{\ast }.\end{array}$$
如果该机器为慢机器，则安排作业 $k$ 前的负载为
$$T[j]-t_k\le \frac{{\sum }_i{t}_i}{m+2k}\le T^{\ast }$$
那么，
$$\begin{array}{rl}T=T[j]& =(T[j]-t_k)+t_k\\ & \le T^{\ast }+2T^{\ast }\\ & =3T^{\ast }.\end{array}$$

【时间复杂度说明】

算法的时间复杂度是 $O(nlogn)$，这是因为每次作业到达时，需要找到当前最快结束的机器，这需 $O(logn)$ 的时间（如果使用优先队列或堆来存储机器）。因此，对于 $n$ 个作业，总的时间复杂度是 $O(nlogn)$。

题目 3 多项式归约

题目描述

问题 3：证明以下命题。

命题 1：$TSP$ 问题是 $NP-hard$ 问题

命题 2：最大加权独立集问题是 $NP-hard$ 问题

参考答案

解答

命题 1 证明：

• TSP 问题是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解经过每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。
• 哈密顿回路问题是指给定一个无向图，判断是否存在一条经过每个顶点一次并回到起点的回路。

要证明 TSP 问题是 NP−hard 问题，利用归约，将哈密顿回路问题转化为 TSP 问题，从而说明 TSP 问题的难度不低于哈密顿回路问题。

具体步骤如下：

• 首先，给定一个哈密顿回路问题的实例，即一个无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。

• 然后，构造一个 TSP 问题的实例，即一个城市集合 $C=V$ ，和一个距离矩阵 $D$，其中 $D_{ij}$ 表示城市 $i$ 和城市 $j$ 之间的距离，定义如下：

  • 如果 $(i,j)\in E$，则 $D_{ij}=1$；
  • 如果 $(i,j)\notin E$，则 $D_{ij}=n+1$，其中 $n=\mid V\mid$ 是顶点的个数。

• 最后，证明这个转化是有效的，即如果 $G$ 有一个哈密顿回路，那么 $C$ 有一个长度为 $n$ 的最短回路；反之，如果 $C$ 有一个长度为 $n$ 的最短回路，那么 $G$ 有一个哈密顿回路。

• 充分性证明：如果 $G$ 有一个哈密顿回路，那么可以沿着这个回路访问每个城市一次，并返回出发城市，这样的回路的长度为 $n$，因为每条边的距离都是 1；

• 必要性证明：如果 $C$ 有一个长度为 $n$ 的最短回路，那么可以根据这个回路构造一个哈密顿回路，这样的回路一定存在，因为如果有任何一条边的距离大于 1，那么回路的长度就会超过 $n$。

可证，由于哈密顿回路是 $NP-hard$ 问题，所以 $TSP$ 问题是 $NP-hard$ 问题。

命题 2 证明：

为了证明最大加权独立集是 NP-hard，我们将其约化为最大独立集（已知是 NP-hard 的问题）。

假设我们有一个图 $G=(V,E)$ 和一个整数 $k$，定义权重函数 $w:V\to \mathbb{R}$ 如下：
$$\forall v\in V:w(v)=1,$$
约化的结果是
$$⟨G^{\prime }=(V,E,w),k⟩.$$
如果图$G$有一个大小至少为 $k$ 的独立集 $S$，那么$S$是图$G^{\prime }$上的独立集，并且
$$\sum _{v\in S}w(v)=\sum _{v\in S}1=|S|\ge k.$$
因此，$G^{\prime }$ 有一个顶点权重之和至少为 $k$ 的独立集。

相反地，如果图 $G^{\prime }$ 有一个独立集 $S^{\prime }$，满足
$$\sum _{v\in S^{\prime }}w(v)\ge k,$$
那么，可以看出 $S^{\prime }$ 也是图 $G$ 上的独立集，并且
$$|S^{\prime }|=\sum _{v\in S^{\prime }}1=\sum _{v\in S^{\prime }}w(v)\ge k.$$
因此，图 $G$ 有一个大小至少为 $k$ 的独立集。

这样，我们证明了如果我们能解决最大加权独立集问题，就能解决最大独立集问题；反之亦然。因此，最大加权独立集问题是 NP-hard 的。