目录

121.买卖股票的最佳时机

暴力法

贪心法

动态规划法

122.买卖股票的最佳时机II

动态规划法

123.买卖股票的最佳时机III

动态规划法

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121.买卖股票的最佳时机

• 题目链接：121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

暴力法

• 解题思路

  • 找最优间距

• 代码一：暴力法

// 时间复杂度：O(n^2)
// 空间复杂度：O(1)
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int result = 0;for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){result = max(result, prices[j] - prices[i]);}}return result;}
};

贪心法

• 解题思路

  • 因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

• 代码一：贪心法

// 时间复杂度：O(n)
// 空间复杂度：O(1)
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int low = INT_MAX;int result = 0;for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {low = min(low, prices[i]);  // 取最左最小价格result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润}return result;}
};

动态规划法

• 解题思路

  • 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢，其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了

• 代码一：动态规划

// 版本一
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int len = prices.size();if (len == 0) return 0;vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);}return dp[len - 1][1];}
};

122.买卖股票的最佳时机II

• 题目链接：122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

  • 在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和买卖股票的最佳时机 (opens new window)一样一样的。

• 解题步骤

  • dp数组的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。

  • 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来（注意这里和买卖股票的最佳时机 (opens new window)唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。在买卖股票的最佳时机 (opens new window)中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。）

    • 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

    • 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

  • 第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来（注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！）

    • 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]

    • 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

• 代码一：动态规划

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int len = prices.size();vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);}return dp[len - 1][1];}
};

123.买卖股票的最佳时机III

• 题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 这道题目相对 121.买卖股票的最佳时机 (opens new window)和 122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)难了不少。关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖

• 解题步骤

    dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

  • 确定dp数组以及下标的含义：一天一共就有五个状态，

    • 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）

    • 第一次持有股票

    • 第一次不持有股票

    • 第二次持有股票

    • 第二次不持有股票

  • 确定递推公式，达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

        那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

        一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

        同理dp[i][2]也有两个操作：

        所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

        同理可推出剩下状态部分：

        dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

        dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

    • 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]

    • 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

    • 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]

    • 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

  • dp数组如何初始化：第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

  • 确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

  • 举例推导dp数组

• 代码一：动态规划

// 版本一
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {if (prices.size() == 0) return 0;vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));dp[0][1] = -prices[0];dp[0][3] = -prices[0];for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0];dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);}return dp[prices.size() - 1][4];}
};