1. 为什么要低秩矩阵

我们的世界里面有很多数据，如果我们原封不动的发送数据，那么会导致数据量的增大，我们希望对数据进行压缩后再打包压缩，这样的话我们能够在带宽一定的情况下发送更多的数据，举例，假设我们有一个矩阵X，我们可以经过SVD奇异值分解得到如下：

• 假设矩阵$n\times n$ 矩阵的秩为k
  $$\begin{array}{c}X={\sigma }_1{u}_1{v}_1^T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T+\cdots +{\sigma }_k{u}_k{v}_k^T+{\sigma }_{k+1}{u}_{k+1}{v}_{k+1}^T+\cdots +{\sigma }_n{u}_n{v}_n^T\end{array}$$
• 我们知道矩阵X的奇异值关系如下：
  $$\begin{array}{c}{\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_k\ge {\sigma }_{k+1}\ge \cdots \ge {\sigma }_n\end{array}$$
• 如果矩阵X的秩为k，那么可得：
  $$\begin{array}{c}{\sigma }_{k+1}=\cdots ={\sigma }_n=0\end{array}$$
• 在没有低秩压缩的情况下，我们发送数据大小$S_1$为,直接长=n宽=n相乘
  $$\begin{array}{c}{S}_1=n\ast n=n^2\end{array}$$
• SVD奇异值分解后可得：
  $$\begin{array}{c}X={\sigma }_1{u}_1{v}_1^T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T+\cdots +{\sigma }_k{u}_k{v}_k^T\end{array}$$
• 在低秩压缩的后下，我们发送数据大小$S_2$为，其中每个
  $$\begin{array}{c}{S}_2=(n+n)\ast k=2nk\end{array}$$