代数扩张次数关系定理

【单扩域同构引理】

对于单扩张 $\mathbb{K/F}$ 有同构 $\mathbb{F}\lbrack a\rbrack\mathbb{\cong F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle$ ，其中 $\in \mathbb{K}$ 为本原元素， $\mathbb{F}\lbrack x\rbrack$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式环， $\mathbb{F}\lbrack x\rbrack$ 显然是个欧几里得整环， $\left\langle f(x) \right\rangle$ 为 $\mathbb{F}\lbrack x\rbrack$ 上的极小多项式 $f (x)$ 生成的理想， $\mathbb{F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle$ 为商域。

【备注】

对于 $\forall F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack$ ，必有 $Q(x)、R(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack$ 满足 $F\lbrack x\rbrack = Q\lbrack x\rbrack \times f(x) + R(x)$ ，其中 $deg{(f)} > \deg(R)$ 。根据引理，对于任意的 $F_{1}(x)、F_{2}(x)$ 对应的新增扩域元素 $F_{1}(a)、F_{2}(a)\mathbb{\in K}$ ，只要 $R_{1}(a) = R_{2}(a)$ ，那么必有 $F_{1}(a) = F_{2}(a)$ 。
另外对于任意的 $\neq 0$ ，都有一个 $F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack$ ，满足 $\times F_{f}^{- 1}(a) = 1$ 。根据线性空间的基的个数（ $=$ 扩张次数 $=$ 极小多项式的次数 $= n$ ），因为对于 $n + 1$ 个元素

$1、F(a)、\left( F(a) \right)^{2}、\left( F(a) \right)^{3}\ldots\ldots\left( F(a) \right)^{n}$

必然线性相关，即有 $l_{0}、l_{1}、l_{2}\ldots\ldots l_{n}\mathbb{\in F}$ 满足

$l_{0}\left( F(a) \right)^{0} + l_{1}\left( F(a) \right)^{1} + l_{2}\left( F(a) \right)^{2} + l_{3}\left( F(a) \right)^{3} + \ldots\ldots + \left( F(a) \right)^{n} = 0$

取第一个不为零的 $l_{k}$ ，那么有
$\left( F(a) \right)^{k}\sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0$
由于
$\neq 0$
所以
$\sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0$
整理得
$\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = - l_{k}$
即
$F(a)\left( \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k - 1}} \right) = 1$
也就是
$F_{f}^{- 1}(x) = \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(x) \right)^{i - k - 1}}$
换句话说 $\neq 0$ 有一个逆元一个 $F_{f}^{- 1}(a)$ ，其中 $F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack$ 为一个一元多项式。

【两次扩域的次数关系定理】

考虑扩域 $\left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack$ 和 $\left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$ ，则有 $\left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$ 。

【证明】

$\left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack$ 和 $\left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$ 为连续的两个单扩张时， $\left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack$ 成立

首先，设 $\left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack$ 的单扩张的本原元素为 $k\mathbb{\in K}$ ，扩张次数为 $n$ ， $\left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$ 的单扩张的本原元素为 $\in \mathbb{L}$ ，扩张次数为 $m$ 。

对于 $\mathbb{K/F}$ ，根据【单扩张同构引理】，任意 $K(l)\mathbb{\in K}$ ，都可化为一个次数为 $m - 1$ 的 $\widehat{K}\lbrack x\rbrack \in \mathbb{K}\lbrack x\rbrack$ 的对应值，即

$\widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}}\ \ \ \ \ \ \ k_{i}\mathbb{\in K\ \ \ \ \ \ }\widehat{K}(x)、K(x)\mathbb{\in K}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{K}(x) \right) = m - 1$

对于 $\mathbb{L/K}$ ，同理，对于任意的 $k_{i}$ ，都有

$k_{i} = \widehat{F}(k) = \sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}k^{j}} = F(k)\ \ \ \ \ \ \ f_{i,j}\mathbb{\in F\ \ \ \ \ \ \ }\widehat{F}(x)、F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{F}(x) \right) = n - 1$

区别不同 $K (l)$ 是根据 $k_{i}$ 的不同值，只要有一个 $k_{i}$ 不同，那么 $K (l)$ 必定不同，否则相同；同理，区别不同 $k_{i}$ ，即区分不同 $F (k)$ 是根据 $f_{i,j}$ 的不同值，只要有一个 $f_{i,j}$ 不同，那么 $F (k)$ 必定不同，否则相同。

对于 $\mathbb{L/F}$ 的扩域过程，因为

$\widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}} = \sum_{i = 0}^{m - 1}{\sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}l^{i}k^{j}}}$

若 $K (l) = 0$ ，则

$\sum_{i = 0}^{m - 1}{\sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}l^{i}k^{j}}} = 0 \Rightarrow \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}} = 0 \Rightarrow k_{i} = 0 \Rightarrow f_{i,j} = 0$

所以 ${ l^{i}k^{j}\}$ 线性无关， ${ l^{i}k^{j}\}$ 可作为 $\mathbb{L/F}$ 的扩域过程的基。从而连续的两个单扩张的总扩张次数等于两个单扩张的各自扩张次数的乘积（ $\times m$ ）。

$\left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$

一般地，一个域扩张可由多个单扩张构成，也就是 $\mathbb{L/F}$ 的扩域过程可分为若干单扩张，这些单扩张分成两个阶段，第一个阶段是 $\mathbb{K/F}$ ，第二个阶段是 $\mathbb{L/K}$ ，显然有 $\left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack$