前言

阅读本文需要阅读一些前置知识

[信号与系统]傅里叶变换、卷积定理、和为什么时域的卷积等于频域相乘。

[信号与系统]有关滤波器的一些知识背景

[信号与系统]关于LTI系统的转换方程、拉普拉斯变换和z变换

[信号与系统]关于双线性变换

IIR滤波器的数学表达式

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器的输出信号 $y[n]$ 可以用输入信号 $x[n]$ 和滤波器系数表示为线性常系数差分方程：

$$y[n]=-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

其中：

• $y[n]$ 是滤波器的输出信号。
• $x[n]$ 是滤波器的输入信号。
• $a_k$ 和 $b_k$ 是滤波器的系数。
• $N$ 是输出信号的反馈项数。
• $M$ 是输入信号的前馈项数。

传递函数

IIR滤波器的传递函数 $H(z)$ 是输入信号的Z变换 $X(z)$ 与输出信号的Z变换 $Y(z)$ 之比：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

数学性质

1. 因果性 (Causality)：

   • IIR滤波器通常是因果的，即输出信号在当前时刻只依赖于当前及过去的输入和输出信号。
   • 数学上，如果系统的传递函数 $H(z)$ 在单位圆外是有界的，则该系统是因果的。

2. 稳定性 (Stability)：

   • IIR滤波器的稳定性取决于系统的极点。如果所有极点都位于单位圆内（即 $|z|<1$），则系统是稳定的。
   • 数学上，如果传递函数 $H(z)$ 在单位圆内收敛，则系统是稳定的。

3. 频率响应 (Frequency Response)：

   • IIR滤波器的频率响应 $H(e^{j\omega })$ 是通过将 $z$ 替换为 $e^{j\omega }$ 得到的：
     $$H(e^{j\omega })=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{e}^{-j\omega k}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{e}^{-j\omega k}}$$
   • 频率响应描述了系统对不同频率成分的响应。

4. 无限冲激响应 (Infinite Impulse Response)：

   • IIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 是无限长的，即 $h[n]$ 不会在有限时间内变为零。
   • 数学上，如果系统的冲激响应 $h[n]$ 对于所有 $n$ 都不为零，则为IIR滤波器。

总结

IIR滤波器通过反馈和前馈项的结合，能够实现复杂的频率响应特性。其数学表达式和性质对于分析和设计滤波器非常重要。IIR滤波器广泛应用于信号处理和通信系统中，因其能用较少的滤波器阶数实现较高的选择性和稳定性。

FIR滤波器的数学表达式

FIR（Finite Impulse Response）滤波器的输出信号 $y[n]$ 可以用输入信号 $x[n]$ 和滤波器系数表示为线性常系数差分方程：

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

其中：

• $y[n]$ 是滤波器的输出信号。
• $x[n]$ 是滤波器的输入信号。
• $b_k$ 是滤波器的系数。
• $M$ 是滤波器的阶数。

传递函数

FIR滤波器的传递函数 $H(z)$ 是输入信号的Z变换 $X(z)$ 与输出信号的Z变换 $Y(z)$ 之比：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\sum _{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}$$

数学性质

1. 因果性 (Causality)：

   • FIR滤波器通常是因果的，即输出信号在当前时刻只依赖于当前及过去的输入信号。
   • 数学上，如果系统的传递函数 $H(z)$ 在单位圆外是有界的，则该系统是因果的。

2. 稳定性 (Stability)：

   • FIR滤波器是稳定的，因为其冲激响应是有限长度的，不存在反馈。

3. 线性相位 (Linear Phase)：

   • FIR滤波器可以设计成具有线性相位响应，即不同频率成分通过滤波器时相位延迟是线性的。这对于避免信号失真非常重要。

4. 频率响应 (Frequency Response)：

   • FIR滤波器的频率响应 $H(e^{j\omega })$ 是通过将 $z$ 替换为 $e^{j\omega }$ 得到的：
     $$H(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^M{b}_k{e}^{-j\omega k}$$
   • 频率响应描述了系统对不同频率成分的响应。

5. 有限冲激响应 (Finite Impulse Response)：

   • FIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 是有限长的，即在有限时间内变为零。
   • 数学上，如果系统的冲激响应 $h[n]$ 对于 $n>M$ 都为零，则为FIR滤波器。

总结

FIR滤波器通过前馈项的组合，能够实现预期的频率响应特性。其数学表达式和性质对于分析和设计滤波器非常重要。FIR滤波器广泛应用于信号处理和通信系统中，因其固有的稳定性和可以实现的线性相位特性，使得它们特别适用于对相位响应有严格要求的应用。

一些分析

1. IIR滤波器的冲激响应

IIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 是无限长的，这意味着当一个冲激输入（即单位脉冲信号 $\delta [n]$）应用于IIR滤波器时，滤波器的输出会持续无限长的时间。其数学表达式为：

$$y[n]=-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

当输入信号 $x[n]=\delta [n]$ 时，输出信号 $y[n]=h[n]$ 是系统的冲激响应。由于IIR滤波器具有反馈项（即包含前几个输出 $y[n-k]$），这些反馈项会使得冲激响应在理论上永远不会完全衰减至零。

2. FIR滤波器的冲激响应

FIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 是有限长的，这意味着当一个冲激输入（即单位脉冲信号 $\delta [n]$）应用于FIR滤波器时，滤波器的输出在有限时间内变为零。其数学表达式为：

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

当输入信号 $x[n]=\delta [n]$ 时，输出信号 $y[n]=h[n]$ 是系统的冲激响应。由于FIR滤波器只包含输入信号的前馈项（即没有前几个输出 $y[n-k]$ 的反馈项），冲激响应在有限时间内（即在 $M$ 个采样点之后）会变为零。

数学性质

IIR滤波器的冲激响应

1. 无限长： IIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 在理论上是无限长的，因为其反馈结构会导致输出信号持续无限时间。
2. 数学上：
   $$h[n]=\sum _{k=0}^M{b}_k\delta [n-k]-\sum _{k=1}^N{a}_{k}h[n-k]$$
   由于存在反馈项 $a_{k}h[n-k]$，冲激响应不会在有限时间内变为零。

FIR滤波器的冲激响应

1. 有限长： FIR滤波器的冲激响应 $h[n]$ 是有限长的，因为其前馈结构没有反馈项，导致输出信号在有限时间内变为零。
2. 数学上：
   $$h[n]=\sum _{k=0}^M{b}_k\delta [n-k]$$
   由于没有反馈项，冲激响应在 $n>M$ 时会变为零。

群延迟（Group Delay）

是指信号中不同频率分量通过滤波器时的相位延迟差异。它表示为：

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d\theta (\omega )}{d\omega }$$

其中，$\theta (\omega )$ 是滤波器的相位响应。

相位响应 是指滤波器对信号不同频率分量引入的相位变化。线性相位响应意味着所有频率分量被等相位延迟处理，保持了信号波形的形状。

IIR滤波器

具有反馈结构，其数学形式为：

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]$$

由于反馈项（${\sum }_{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]$），IIR滤波器的相位响应通常是非线性的。这是因为反馈会引入复杂的极点分布，导致相位响应不是线性的，进而导致群延迟不恒定，形成非线性相位偏移。

FIR滤波器

FIR滤波器 具有有限冲激响应，其数学形式为：

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

FIR滤波器没有反馈项，仅依赖于输入信号的有限个样本。通过适当设计滤波器系数 $b_k$，可以实现线性相位响应，即：

$$\theta (\omega )=-\tau \omega$$

其中，$\tau$ 是常数。这意味着群延迟 ${\tau }_g(\omega )$ 为常数，所有频率分量都具有相同的相位延迟，保持信号的波形不失真。

举个例子

考虑一个简单的一阶IIR低通滤波器：

$$H(z)=\frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.3z^{-1}}$$

相位响应和群延迟（非线性）如下：

$$\theta (\omega )\approx -\omega \left(\frac{0.3}{1-0.3^2}\right)$$

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d\theta (\omega )}{d\omega }$$

考虑一个简单的三阶FIR低通滤波器，具有对称系数：

$$H(z)=0.25+0.5z^{-1}+0.25z^{-2}$$

相位响应和群延迟（线性）如下：

$$\theta (\omega )=-\omega \left(\frac{3}{2}\right)$$

$${\tau }_g(\omega )=\frac{d\theta (\omega )}{d\omega }=\frac{3}{2}$$