方差分析

一、单因素方差分析（Analysis of Variance）

1.方差分析在做什么？

• 比较不同分组（通常组别大于等于3）之间均值是否存在显著差异，如果组别是两组，直接使用t检验就可以；
• n个分类，它们的某一些特征值的平均值，是否有显著区别；
  • 分类：因素（factor or independent variable）。是分类型变量，且类别大于3；
• n个分类，它们的某一特征值的平均值，是否有显著区别；
  • 特征值（dependent variable）：连续型变量；

2.方差分析的思路：

• 数据整体波动（sum of squares total）:组内波动与组间波动
• 组内波动：
  • 某一分组内，个体特征值的离散程度
  • Sum of Squares Within,SSW
  • 例子：协和医学院学生考试成绩的离散程度
• 组间波动：
  • 不同分组之间，分组特征值的平均值的离散程度
  • Sum of Squares Between,SSB
  • 例子：协和医学院、北大医学院、哈弗医学院，学生考试成绩均值的离散程度v

结论：

组间波动占整体越大，组内波动占整体越小，各组均值相等的可能性越小

组内波动占整体越大，组间波动占整体越小，各组均值相等的可能性越大

3.方差分析中的计算：

• SST：

• SSW：

• SSB

• 整体波动 = 组内波动 + 组间波动

4.构造F统计量：

• 自由度

如果F统计量很大（例如：F统计量对应的P值小于0.05），意味着SSB显著的大于SSW，有理由认为各分组之间的平均值存在显著差异，拒绝原假设；

如果F统计量很小（例如：F统计量对应的P值大于0.05），意味着SSB不显著的大于SSW，有理由认为各分组之间的平均值不存在显著差别，接受原假设；

二、双因素方差分析(Two-way ANOVA)

1.双因素方差分析在做什么？

根据两个因素进行分组时，不同分组之间特征值的平均值是否相等。

• 特征值：连续变量（例如：播放量、成绩）
• 因素：分类型变量（例如：视频分区、学历、院校、性别）
• 分类组别不一定大于3

2.双因素方差探讨三个问题：

• 问题一：根据第一个因素进行分组时，不同分组之间的特征均值是否相等
  • 原假设：第一个因素对特征值没有显著影响
  • 备择假设：第一个因素对特征值均值存在显著影响
• 问题二：根据第二个因素进行分组时，不同分组之间的特征均值是否相等
  • 原假设：第一个因素对特征值没有显著影响
  • 备择假设：第一个因素对特征值均值存在显著影响
• 问题三：第一个因素和第二个因素的交互效应，是否对不同分组之间的特征值均值产生影响
  • 原假设：交换效应对特征值均值没有显著影响
  • 备择假设：交互效应对特征值均值存在显著影响

3.双因素方差分析的检验思路

• 第一步：计算出因素一波动、因素波动、交互项波动、误差波动

• 第二步：分别将因素一波动、因素二波动、交互项波动、与误差项波动进行比较

  • 因素一波动 v.s. 误差项波动进行比较
  • 因素二波动 v.s. 误差项波动进行比较
  • 交互项波动 v.s. 误差项波动进行比较

计算五个波动

• 数据整体波动（sum of squares total）
• 第一个因素所带来的波动（sum of squares first factor）
• 第二个因素所带来的波动（sum of squares secon factor）
• 两个因素交互项所带来的波动（sum of squares interaction）
• 误差项所带来的波动（sum of squares error）

• 例子：
• 
• 
  
  

4.双因素方差分析中的计算方法

• 数据整体波动：

  每个个体的数值减去总体的平均值的平方和
  

• 第一个因素所带来的波动

  认为的构造一组数据，使得它只有由性别引起的波动，而没有由其他因素引起的波动。
  

• 第二个因素所带来的波动

  人为的构造一组数据，使得它只有由医学院引起的波动而没有由其他因素引起的波动；

  

• 交互项所带来的波动

  交互项所带来的波动 = 模型波动 - 因素一波动 - 因素二波动

  • 模型波动

• 误差项所带来的波动
  • 模型所不能解释的波动，个体取值减去模型所能解释的取值
  • 模型所能解释的取值：如果某个个体，只受性别和学校影响，不受其他因素的影响，个体取值应该为所在性别和学校的平均值

5.构造F统计量

根据F统计量，查找对应的p值，如果小于0.05，则表明因素显著的影响特征值，如果大于0.05或者大于提前设置的临界值，则表明因素对特征值取值没有显著的影响。