Day02-二分系列之-二分查找

前言

给大家推荐一下咱们的 陪伴打卡小屋 知识星球啦，详细介绍 =>笔试刷题陪伴小屋-打卡赢价值丰厚奖励 <=

⏰小屋将在每日上午发放打卡题目，包括：

• 一道该算法的模版题 (主要以力扣，牛客，acwing等其他OJ网站的题目作为模版)
• 一道该算法的应用题（主要以往期互联网大厂 笔试真题 的形式出现，评测在咱们的 笔试突围OJ）

小屋day02

我们预计花三天的时间来介绍和巩固二分的题目，其中包括

• 二分查找
• 二分答案
• 二分最大化最小值/最小化最大值

其中笔试常考的为后两类，今年春招中出现了不下 10 次。

引言

举个二分的例子：

比如有一个有序单调不减的数组 $arr$，以及一个目标值 $X$ ，要求在 $arr$ 中找到第一个 $\ge X$ 的数。

做法：每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

通过二分搜索能够有效的帮原本 $O(n)$ 遍历数组的时间复杂度降为 $O\log (n)$。

当然二分能做的事远远不止如此，一个题目，如果一个区间具有单调性质，那么一定可以二分，但是如果说这道题目没有单调性质，而是具有某种区间性质的话，我们同样可以使用二分，二分的题目，往往会出现最大值最小值, 或者单调性质。题目如果出现最大的最小值，最小的最大值的类似的字眼，一般是可以使用二分来解决。

✨ 以下提供一个，本人长期使用的一个比较好用的手写二分模版

二分模版

二分模板一共有两个，分别适用于不同情况，使用时只需修改check函数即可。
算法思路：假设目标值在闭区间 [l, r] 中， 每次将区间长度缩小一半，当 l = r 时，我们就找到了目标值。

版本1

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加 1。

• CPP

  int bsearch_1(int l, int r)
  {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间// 使用时只需修改check函数即可while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件else l = mid + 1; // 一定是这么写 不用多想}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)
  }
  

• Java

  public int bsearch_1(int l, int r) {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间// 使用时只需修改check函数即可while (l < r) {int mid = (l + r) >> 1;if (check(mid)) {r = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件} else {l = mid + 1; // 一定是这么写 不用多想}}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)
  }
  

• Python

  def bsearch_1(l, r):# l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间# 使用时只需修改check函数即可while l < r:mid = (l + r) // 2if check(mid):r = mid # check函数代表你需要进行的判断操作# 最终的答案会满足check条件else:l = mid + 1 # 一定是这么写 不用多想return l # 此时的 l 为答案 (l == r)
  

版本2

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

• CPP

  int bsearch_2(int l, int r)
  {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间// 使用时只需修改check函数即可while (l < r){int mid = l + r + 1 >> 1; // 注意这里要多加 1if (check(mid)) l = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件else r = mid - 1; // 一定是这么写 不用多想}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)
  }
  

• Java

  public int bsearch_2(int l, int r) {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间// 使用时只需修改check函数即可while (l < r) {int mid = (l + r + 1) >> 1;// 注意这里要多加 1if (check(mid)) {l = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件} else {r = mid - 1; // 一定是这么写 不用多想}}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)
  }
  

• Python

  def bsearch_2(l, r):# l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间# 使用时只需修改check函数即可while l < r:mid = (l + r + 1) // 2 # 注意这里要多加 1if check(mid):l = mid # check函数代表你需要进行的判断操作# 最终的答案会满足check条件else:r = mid - 1 # 一定是这么写 不用多想return l # 此时的 l 为答案 (l == r)
  

什么时候使用版本1 or 2？

清隆这边给大家总结了一下：

• 如果在 if(check()) 判断之后需要 跟新(左移) 右端点的，用 版本1
• 反之，如果是需要 跟新(右移) 左端点的，用 版本2

接来下我们看看模版如何运用

🎀 模版题

leetcode-34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接🔗：https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/)

题目描述

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

---

解题思路

对于左端点我们二分找到第一个 >= target 的下标，记为 left，如果没有则为 -1

对于右端点我们二分找到最后一个 <= target 的下标，记为 right，如果没有则为 -1

最终的答案为 [left, right]

参考代码

• Python

  class Solution:def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:def bsearch_1(l, r): # 找到第一个 >= target的位置def check(index):if nums[index] >= target:return True # 说明当前 nums[mid] 太大了，答案下标应该在 <= index ，所以返回 True 缩小右端点return False# l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间# 使用时只需修改check函数即可while l < r:mid = (l + r) // 2if check(mid):r = mid # check函数代表你需要进行的判断操作# 最终的答案会满足check条件else:l = mid + 1 # 一定是这么写 不用多想if l >= n or nums[l] != target: # 代表没有找到答案return -1return l # 此时的 l 为答案 (l == r)def bsearch_2(l, r): # 找到最后一个 <= target的位置def check(index):if nums[index] <= target: # 说明当前 nums[mid] 太小了，答案下标应该 >= index, 所以返回 True 缩小左端点return Truereturn False# l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间# 使用时只需修改check函数即可while l < r:mid = (l + r + 1) // 2 # 注意这里要多加 1if check(mid):l = mid # check函数代表你需要进行的判断操作# 最终的答案会满足check条件else:r = mid - 1 # 一定是这么写 不用多想if l >= n or nums[l] != target: # 代表没有找到答案return -1return l # 此时的 l 为答案 (l == r)n = len(nums)left = bsearch_1(0, n - 1)# 找到左端点，即第一个 >= target 的位置right = bsearch_2(0, n - 1) # 找到右端点，即最后一个 <= target 的位置return [left, right]
  

• Java

  class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int n = nums.length;int left = bsearch_1(nums, target, 0, n - 1);  // 找到左端点，即第一个 >= target 的位置int right = bsearch_2(nums, target, 0, n - 1); // 找到右端点，即最后一个 <= target 的位置return new int[]{left, right};}private int bsearch_1(int[] nums, int target, int l, int r) {while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (nums[mid] >= target) {r = mid; // 说明当前 nums[mid] 太大了，答案下标应该在 <= index ，所以返回 True 缩小右端点} else {l = mid + 1; // 一定是这么写 不用多想}}if (l >= nums.length || nums[l] != target) {return -1; // 代表没有找到答案}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)}private int bsearch_2(int[] nums, int target, int l, int r) {

• Cpp

  class Solution {
  public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int left = bsearch_1(nums, target, 0, n - 1);  // 找到左端点，即第一个 >= target 的位置int right = bsearch_2(nums, target, 0, n - 1); // 找到右端点，即最后一个 <= target 的位置return {left, right};}private:int bsearch_1(vector<int>& nums, int target, int l, int r) {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (check1(nums, mid, target)) {r = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件} else {l = mid + 1; // 一定是这么写 不用多想}}if (l >= nums.size() || nums[l] != target) {return -1; // 代表没有找到答案}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)}bool check1(vector<int>& nums, int index, int target) {if (nums[index] >= target) {return true; // 说明当前 nums[mid] 太大了，答案下标应该在 <= index ，所以返回 True 缩小右端点}return false;}int bsearch_2(vector<int>& nums, int target, int l, int r) {// l 为左端点，r 为右端点，都是闭区间while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2; // 注意这里要多加 1if (check2(nums, mid, target)) {l = mid; // check函数代表你需要进行的判断操作// 最终的答案会满足check条件} else {r = mid - 1; // 一定是这么写 不用多想}}if (l >= nums.size() || nums[l] != target) {return -1; // 代表没有找到答案}return l; // 此时的 l 为答案 (l == r)}bool check2(vector<int>& nums, int index, int target) {if (nums[index] <= target) {return true; // 说明当前 nums[mid] 太小了，答案下标应该 >= index, 所以返回 True 缩小左端点}return false;}
  };

---

🍰 笔试真题

• 直接考察二分查找位置的笔试题目并不多，更多是和其他算法相结合

• 该题来自今年 阿里系春招 的笔试题，本题为最后一题，题目难度为中等偏上，其中涉及到了 质数筛 的数论知识，大家如果对这方面不熟悉可以先去了解一下，咱们后面开始数论篇的时候会详细讲解

• 如果有困难的小伙伴这边可以根据参考代码 只写二分 的部分，本篇主目的是对二分查找进行介绍，可以等后续数论篇的时候再来补这里的 **质数筛 **部分～。

神奇数字

🔗评测链接：https://app5938.acapp.acwing.com.cn/contest/3/problem/Day02

题目描述

LYA 定义了一个神奇数字 $num$，其要满足 $num=a^2+b^3+c^4$，其中 $a,b,c$ 都为质数。于是 LYA 想知道在 $1\sim n$ 中有多少个这样的神奇数字呢，请你告诉 LYA。

输入格式

第一行为 $t$，表示有 $t$ 组数据。

接下来有 $t$ 行，每行为一个整数 $n$。

输出格式

输出为 $t$ 行，每行为一组答案。

样例输入

3
28
33
47

样例输出

1
2
3

数据范围

• $1<t<10^5$
• $1\le n<10^6$

题解

本题可以使用预处理 + 二分查找的方法来解决。

首先，预处理出所有可能的神奇数字。由于 $a,b,c$ 都是质数，我们可以先用埃氏筛法筛选出 $1\sim 10^6$ 内的所有质数，存入数组 $prime$ 中。

然后，我们使用三重循环枚举所有可能的 $a,b,c$，计算出对应的神奇数字 $val$，并将其加入到集合 $s$ 中。注意，为了避免重复计算，我们需要保证 $a^2+b^3+c^4<10^6$，虽然有三重循环，但有大量剪枝，总计算次数在 $3\times 10^5$ 左右。

接下来，将集合 $s$ 中的元素转移到数组 $v$ 中，并对 $v$ 进行排序。

最后，对于每个询问 $n$，我们使用二分查找在数组 $v$ 中查找不超过 $n$ 的元素个数，即为答案。

时间复杂度 $O(t\log n)$，空间复杂度 $O(n)$。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()
import bisectprime = []
N = 10 ** 6 + 1
st = [False] * Nfor i in range(2, N):if not st[i]:prime.append(i)for j in range(i, N, i):st[j] = True v = []
s = set()
n = len(prime)for a in prime:if a * a >= N:breakfor b in prime:if a * a + b ** 3 >= N:breakfor c in prime:val = a ** 2 + b ** 3 + c ** 4if val >= N:breaks.add(val)v = sorted(s)
# 将右边界跟新成一个比较大的数
v.append(10**9)
m = len(v)
t = int(input())
# ----- 以下为二分的部分 -----
for _ in range(t):x = int(input())# 找到 v 中不超过 x 的个数# 这里采用二分的第一种模版，找到 v 中第一个 > x 的下标# 也可以采用第二个模版，找到 v 中最后一个 <= x 的下标# 1.手写二分l, r = 0, m - 1while l < r:mid = (l + r) // 2if v[mid] > x:r = midelse:l = mid + 1print(l)# 2. 也可以用库函数实现# idx = bisect.bisect_right(v, x) # 库函数 返回 v 中第一个大于 x 的下标# print(idx)

• Java

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {int N = 1000001;boolean[] st = new boolean[N];List<Integer> prime = new ArrayList<>();for (int i = 2; i < N; i++) {if (!st[i]) prime.add(i);for (int j = i; j < N; j += i) st[j] = true;}Set<Long> s = new HashSet<>();int n = prime.size();for (int a : prime) {if ((long) a * a >= N) break;for (int b : prime) {if ((long) a * a + (long) b * b * b >= N) break;for (int c : prime) {long val = (long) a * a + (long) b * b * b + (long) c * c * c * c;if (val >= N) break;s.add(val);}}}List<Long> v = new ArrayList<>(s);Collections.sort(v);// 将右边界跟新成一个比较大的数，方便维护long maxv_right = 1000_000_000;v.add(maxv_right);Scanner scanner = new Scanner(System.in);int t = scanner.nextInt();int m = v.size();// ----- 以下为二分的部分 -----while (t-- > 0) {int x = scanner.nextInt();// 需要在 v 中找到 所有 <= x 的个数// 这里采用二分的第一种模版，找到 v 中第一个 > x 的下标// 也可以采用第二个模版，找到 v 中最后一个 <= x 的下标int L = 0, R = m;while(L < R){int mid = L + R >> 1;if(v.get(mid) > x) R = mid; elseL = mid + 1;}System.out.println(L);}}
}

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
using ll = long long;const int N = 1e6 + 1;
bool st[N];
vector<int> prime;int main() {for (int i = 2; i < N; i++) {if (!st[i]) prime.push_back(i);for (int j = i; j < N; j += i) st[j] = true;}unordered_set<int> s;int n = prime.size();for (auto a : prime) {if (1ll * a * a >= N) break;for (auto b : prime) {if (1ll * a * a + b * b * b >= N) break;for (auto c : prime) {ll val = 1ll * a * a + b * b * b + c * c * c * c;if (val >= N) break;s.insert(val);}}}vector<int> v(s.begin(), s.end());sort(v.begin(), v.end());// 将右边界跟新成一个比较大的数，方便维护v.push_back(int(1e9));int m = v.size();int t;cin >> t;// ----- 以下为二分的部分 -----while (t--) {int x;cin >> x;// 需要在 v 中找到 所有 <= x 的个数// 这里采用二分的第一种模版，找到 v 中第一个 > x 的下标// 也可以采用第二个模版，找到 v 中最后一个 <= x 的下标// 1.手写二分int l = 0, r = m - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(v[mid] > x) r = mid;elsel = mid + 1;}cout << l << "\n";// 2. 也可以用库函数实现// int idx = upper_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin(); // STL实现，返回 v 中第一个大于 x 的下标// cout << idx << "\n";}return 0;
}