Python重力弹弓流体晃动微分方程模型和交直流电阻电容电路

🎯要点

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🍇Python欧拉法

d S ( t ) d t = F ( t , S ( t ) ) \frac{d S(t)}{d t}=F(t, S(t)) dtdS(t)=F(t,S(t)) 为显式定义的一阶常微分方程。也就是说, F F F 是一个函数,它返回给定时间和状态值的状态的导数或变化。另外,令 t t t 为区间 [ t 0 , t f ] \left[t_0, t_f\right] [t0,tf] 的数字网格,间距为 h h h。不失一般性,我们假设 t 0 = 0 t_0=0 t0=0,并且对于某个正整数 N N N t f = N h t_f=N h tf=Nh

S ( t ) S(t) S(t) t j t_j tj 附近的线性近似为
S ( t j + 1 ) = S ( t j ) + ( t j + 1 − t j ) d S ( t j ) d t S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\left(t_{j+1}-t_j\right) \frac{d S\left(t_j\right)}{d t} S(tj+1)=S(tj)+(tj+1tj)dtdS(tj)
还可以写为:
S ( t j + 1 ) = S ( t j ) + h F ( t j , S ( t j ) ) S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+h F\left(t_j, S\left(t_j\right)\right) S(tj+1)=S(tj)+hF(tj,S(tj))
这个公式称为显式欧拉公式,它允许我们在给定 S ( t j ) S\left(t_j\right) S(tj) 状态的情况下计算 S ( t j + 1 ) S\left(t_{j+1}\right) S(tj+1) 状态的近似值。从给定的初始值 S 0 = S ( t 0 ) S_0=S\left(t_0\right) S0=S(t0)开始,我们可以使用这个公式对状态进行积分直到 S ( t f ) S\left(t_f\right) S(tf);这些 S ( t ) S(t) S(t) 值是微分方程解的近似值。显式欧拉公式是解决初值问题最简单、最直观的方法。在任何状态 ( t j , S ( t j ) ) \left(t_j, S\left(t_j\right)\right) (tj,S(tj)),它在该状态下使用 F F F“指向”下一个状态,然后朝该方向移动 h h h的距离。尽管有更复杂和更准确的方法来解决这些问题,但它们都具有相同的基本结构。因此,我们明确列举了使用显式欧拉公式解决初始值问题的步骤。

假设我们有一个函数 F ( t , S ( t ) ) F(t, S(t)) F(t,S(t)) 计算 d S ( t ) d t \frac{d S(t)}{d t} dtdS(t),一个数值网格 t t t,区间 [ t 0 , t f ] \left[ t_0, t_f\right] [t0,tf],初始状态值 S 0 = S ( t 0 ) S_0=S\left(t_0\right) S0=S(t0)。我们可以使用以下步骤计算 t t t 中每个 t j t_j tj S ( t j ) S\left(t_j\right) S(tj)

  • S 0 = S ( t 0 ) S_0=S\left(t_0\right) S0=S(t0) 存储在数组 S S S 中。
  • 计算 S ( t 1 ) = S 0 + h F ( t 0 , S 0 ) S\left(t_1\right)=S_0+h F\left(t_0, S_0\right) S(t1)=S0+hF(t0,S0)
  • S 1 = S ( t 1 ) S_1=S\left(t_1\right) S1=S(t1) 存储在 S S S
  • 计算 S ( t 2 ) = S 1 + h F ( t 1 , S 1 ) S\left(t_2\right)=S_1+h F\left(t_1, S_1\right) S(t2)=S1+hF(t1,S1)
  • S 2 = S ( t 1 ) S_2=S\left(t_1\right) S2=S(t1) 存储在 S S S​ 中。
  • 计算 S ( t f ) = S f − 1 + h F ( t f − 1 , S f − 1 ) S\left(t_f\right)=S_{f-1}+h F\left(t_{f-1}, S_{f-1}\right) S(tf)=Sf1+hF(tf1,Sf1)
  • S f = S ( t f ) S_f=S\left(t_f\right) Sf=S(tf) 存储在 S S S
  • S S S 是初始值问题的近似解

当使用具有这种结构的方法时,我们称该方法集成了常微分方程的解。

初始条件为 f 0 = − 1 f_0=-1 f0=1的微分方程 d f ( t ) d t = e − t \frac{d f(t)}{d t}=e^{-t} dtdf(t)=et有精确解 f ( t ) = − e − t f(t)=-e^{-t} f(t)=et 。使用显式欧拉公式,以 0.1 为增量,在 0 和 1 之间近似求解此初始值问题。绘制近似解和精确解之间的差异。

代码处理:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.style.use('seaborn-poster')
%matplotlib inlinef = lambda t, s: np.exp(-t) 
h = 0.1 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0for i in range(0, len(t) - 1):s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'bo--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在上图中,我们可以看到每个点都是基于前一个点以线性方式进行的近似。从初始值,我们最终可以得到数值网格上解的近似值。如果我们对 h = 0.01 h=0.01 h=0.01 重复该过程,我们会得到更好的近似解:

h = 0.01 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0for i in range(0, len(t) - 1):s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'b--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

显式欧拉公式之所以被称为“显式”,是因为它只需要 t j t_j tj 处的信息来计算 t j + 1 t_{j+1} tj+1 处的状态。也就是说, S ( t j + 1 ) S\left(t_{j+1}\right) S(tj+1) 可以根据我们拥有的值(即 t j t_j tj S ( t j ) S\left(t_j\right) S(tj) )显式地编写。隐式欧拉公式可以通过在 t j + 1 t_{j+1} tj+1 周围取 S ( t ) S(t) S(t) 的线性近似并在 t j t_j tj 处计算来导出:
S ( t j + 1 ) = S ( t j ) + h F ( t j + 1 , S ( t j + 1 ) ) S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+h F\left(t_{j+1}, S\left(t_{j+1}\right)\right) S(tj+1)=S(tj)+hF(tj+1,S(tj+1))
这个公式很奇特,因为它要求我们知道 S ( t j + 1 ) S\left(t_{j+1}\right) S(tj+1) 才能计算 S ( t j + 1 ) S\left(t_{j+1}\right) S(tj+1)!不过,有时候我们可以用这个公式来近似求解初值问题。在详细介绍如何使用隐式欧拉公式解决这些问题之前,我们先给出另一个隐式公式,称为梯形公式,它是显式和隐式欧拉公式的平均值:
S ( t j + 1 ) = S ( t j ) + h 2 ( F ( t j , S ( t j ) ) + F ( t j + 1 , S ( t j + 1 ) ) ) S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\frac{h}{2}\left(F\left(t_j, S\left(t_j\right)\right)+F\left(t_{j+1}, S\left(t_{j+1}\right)\right)\right) S(tj+1)=S(tj)+2h(F(tj,S(tj))+F(tj+1,S(tj+1)))
为了说明如何求解这些隐式解,请再次考虑已简化为一阶的摆方程。

👉参阅一:计算思维

👉参阅二:亚图跨际

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