1. 线性神经元
   线性神经元（Linear Neuron）是一种基本的人工神经元模型，特点是其输出是输入的线性组合。线性神经元是神经网络中最简单的一种形式，适用于处理线性关系的问题。数学模型如下，

$$y=\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b=\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+b$$

2. 非线性神经元

• 引入非线性激活函数，如Sigmoid、Tanh、ReLU、ELU、PReLU或者Leak ReLU，以允许网络学习更复杂的模式。
  

• 应用现代神经网络的普遍使用。

3. 自适应线性神经元（Adaptive Linear Neuron, Adaline）

• 自适应线性神经元（Adaptive Linear Neuron，简称ADALINE）是一种早期的人工神经网络模型，由Bernard Widrow和Ted Hoff在1960年提出。ADALINE是感知器（Perceptron）的一个扩展，但使用线性激活函数，并且采用梯度下降法来调整权重。这使得它在处理线性可分问题和线性回归任务上非常有效。ADALINE的基本结构和感知器类似，但其激活函数是线性的。这意味着ADALINE在输出层不会应用阶跃函数，而是直接输出加权和。ADALINE的数学模型如和线性神经元一样，如下
  • 计算加权和：将输入信号和权重进行线性组合，再加上偏置项：
    $$y=\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b=\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+b$$

但是线性神经元 通常用作描述线性回归模型，可以使用不同的优化算法。ADALINE 明确采用梯度下降法，并且其主要创新在于使用均方误差作为损失函数来调整权重。

4. 感知机神经元（Perceptron Neuron）

• Perceptron模型是由弗兰克·罗森布拉特（Frank Rosenblatt）在1958年提出的，是对McCulloch-Pitts神经元模型的扩展。Perceptron神经元的结构与McCulloch-Pitts神经元相似，但具有更灵活的学习能力。输入信号可以是连续值而不是二进制。
  数学模型为
  $$y=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i+b\ge 0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$
  

5. McCulloch-Pitts神经元

• McCulloch-Pitts神经元是一个二进制阈值设备，输入是一组二进制输入信号$x_1,x_2,...,x_n$，每个输入要么是0要么是1。这个神经元的输出 y是通过以下步骤计算的：
  • 计算输入信号和权重的加权和： $S={\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i$。
  • 将加权和与阈值进行比较：如果 $S\ge \theta$，则输出 y = 1；否则输出y = 0。
    数学模型为
    $$y=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i\ge \theta \\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

6. 径向基函数神经元（Radial Basis Function, RBF Neuron）

• 使用径向基函数作为激活函数，能够对输入空间进行非线性映射。
• 应用函数逼近、模式识别。

7. 径向基概率神经元（Radial Basis Probabilistic Neuron, RBPNN）

• 结合了RBF神经元和概率模型，用于分类和回归任务。
• 应用统计模式识别。

8. 模糊神经元

• 使用模糊逻辑作为激活函数，能够处理不确定性和模糊性。
• 应用模糊控制系统。

9. 自组织映射神经元（Self-Organizing Map, SOM Neuron）

• 一种无监督学习的神经元，能够将高维输入数据映射到低维空间。
• 应用数据可视化、聚类分析。

10. CMAC神经元（Cerebellar Model Articulation Controller, CMAC Neuron）

• 一种局部学习的神经元，常用于控制理论。
• 应用机器人控制、实时系统。

11. LIF神经元（Leaky Integrate-and-Fire Neuron）

• 一种生物物理模型，模拟了生物神经元的放电特性。
• 应用生物神经网络模拟。
  

12. Izhikevich神经元
    Izhikevich神经元模型是由Eugene Izhikevich在2003年提出的，它结合了生物学上的真实性和计算上的效率。该模型能够捕捉到多种生物神经元的复杂放电模式，同时计算复杂度较低，使其在大规模神经网络模拟中非常有用。该模型使用两个变量 $v$ 和 $u$ 来描述神经元的动态行为：

• $v$ 表示膜电位。
• $u$ 表示恢复变量，捕捉膜电位的复原机制。

模型的微分方程为：

$$\frac{dv}{dt}=0.04v^2+5v+140-u+I$$

$$\frac{du}{dt}=a(bv-u)$$

其中，$I$ 是外部输入电流，$a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是模型参数，用于调整神经元的放电特性。放电后的重置条件为：
当 $v\ge 30$ mV 时：
$v\leftarrow c$
$u\leftarrow u+d$

13. Spiking神经元

• 模拟生物神经元的尖峰放电行为，是神经形态计算的基础。
• 应用神经形态工程、生物启发的计算模型。
  

14. Swish神经元

• Swish是一种自门控的激活函数，它在不同的输入下有不同的行为，表现出非单调特性。
  

15. Boltzmann神经元

• Boltzmann 神经元是一种在 Boltzmann 机（Boltzmann Machine）中使用的神经元模型。Boltzmann 神经元是二值的，即其状态只能是 0 或 1。它们通过概率性规则来更新状态，这些规则依赖于其他神经元的状态和连接权重。Boltzmann 神经元的状态更新遵循以下概率性规则：

  • 神经元 $i$ 的状态 $s_i$ 可以是 0 或 1。
  • 神经元 $i$ 的状态以一定的概率 $P(s_i=1)$ 更新，这个概率取决于当前网络的状态和神经元的输入信号。

该概率通常使用 logistic 函数来表示：

$$P(s_i=1)=\frac{1}{1+\exp (-E_i)}$$

其中 $E_i$ 是神经元 $i$ 的输入信号，总和来自其他神经元的输入加上偏置项：

$$E_i=\sum _j{w}_{ij}{s}_j+b_i$$

• $w_{ij}$ 是从神经元 $j$ 到神经元 $i$ 的连接权重。
• $b_i$ 是神经元 $i$ 的偏置项。
• $s_j$ 是神经元 $j$ 的状态。