前言

树状数组或二叉索引树（Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为 Fenwick 树。其初衷是解决数据压缩里的累积频率的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和、区间和。它可以以 O(logn) 的时间得到任意前缀和。并同时支持在 O(logn) 时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度 O(n)。

介绍

1.原理

树状数组，顾名思义是树状的数组，我们首先引入二叉树，叶子节点代表A[1]~A[8]。

现在变形一下：

现在定义每一列的顶端节点C数组（其实C数组就是树状数组），如图：

理解树状数组的重点
C[i]代表子树的叶子节点的权值之和，如图可以知道：

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

看过上面的列表，有没有看出来什么规律来呢？

如果没有看出来，那说明你不知道lowbit函数。

先看lowbit函数的代码：

function lowBit(x){return x&-x;
}

不知道干啥的吧！是不是一脸懵逼？别慌，举几个例子：

1 & -1 = 1；
2 & -2 = 2；
3 & -3 = 1；
4 & -4 = 4；
5 & -5 = 1；
6 & -6 = 2；
7 & -7 = 1；
8 & -8 = 8；

对比上面的，熟悉不，看出来规律了吗？

怎么理解呢？

lowbit函数的含义即为：x（二进制）最低位1后面的0组成的数
例如：
5（二进制：101）最低位1后面0的个数为0，则lowbit(5)=2^0=1（十进制）
12(二进制：1100) 最低位1后面0的个数为2，则lowbit(12)=2^2=4（十进制）

那现在我给你一个数组，让你求解他的树状数组，能求出来吗？思考一下解出来了就跳过下面。或者对一下答案！

var A = [1,2,3,4,5,6,7,8]var C = new Array(9).fill(0);function getSum(i) {  let begin = lowBit(i);let res=0;while(begin) {res += A[i-begin];begin --;}return res;
}for(let i=1;i<9;i++){C[i] = getSum(i);
}
console.log("树状数组",treeArr);
//[0，1, 3, 3, 10, 5, 11, 7, 36]
//注意哦我不要第一项，至于为什么，懂得都懂。

2.应用

2.1 区间查询

利用C[i]数组，求A数组中前i项和，举两个栗子：

前7项和：
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；
可以得到：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。
数组下标写成二进制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；

前5项和：
sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；
可以得到：sum[5]=C[4]+C[5]；
数组下标写成二进制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；

细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用，结合代码演示一下代码过程：

function finSum(i){let res = 0;while(i){res += treeArr[i];i -= lowBit(i)}return res;
}
console.log("前5项和",finSum(5)); //15
console.log("前7项和",finSum(7)); //28

代码推演：
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；

看到这里是不是有点疑惑，这不比前缀算法还多算了一个树状数组吗？我也有这个疑问，保留意见，先继续往下看。

2.2 单点更新
当我们修改A数组中某个值时，应当如何更新C数组呢？回想一下，区间查询的过程，再看一下上文中列出的过程。这里声明一下：单点更新实际上是不修改A数组的，而是修改树状数组C，向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。

function update(i,k){A[i] += k;while(i <= 8){C[i] += k;i += lowBit(i);}
}
update(6,5);console.log("前5项和",finSum(5)); //15
console.log("前7项和",finSum(7)); //33

如上图：若在A[1]加上值val，即更新A[1]时，需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解，人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值，事实上A数组并不用修改，实际运用中也可不设置A数组，单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val；

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val；

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；

由于c[1] c[2] c[4] c[8] 都包含有A[1]，所以在更新A[1]时实际上就是更新每一个包含A[1]的节点。

现在是不是有点懵懂了，如果用前缀和的话，需要在1后面的所有元素都加上val，但是对于树状数组就不同了。时间复杂度为O(logN)

与线段树对比

1.两者在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树.
2.树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决.
3. 树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作，其代码效率远高于线段树。