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11.6   归并排序

11.6.1   算法流程

11.6.2   算法特性

11.6.3   链表排序

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11.6   归并排序

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。

1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

图 11-10   归并排序的划分与合并阶段

11.6.1   算法流程

如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

图 11-11   归并排序步骤

观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

• 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
• 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

归并排序的实现如以下代码所示。请注意，nums 的待合并区间为 [left, right] ，而 tmp 的对应区间为 [0, right - left] 。

merge_sort.c

/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(int *nums, int left, int mid, int right) {// 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]// 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果int tmpSize = right - left + 1;int *tmp = (int *)malloc(tmpSize * sizeof(int));// 初始化左子数组和右子数组的起始索引int i = left, j = mid + 1, k = 0;// 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中while (i <= mid && j <= right) {if (nums[i] <= nums[j]) {tmp[k++] = nums[i++];} else {tmp[k++] = nums[j++];}}// 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中while (i <= mid) {tmp[k++] = nums[i++];}while (j <= right) {tmp[k++] = nums[j++];}// 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间for (k = 0; k < tmpSize; ++k) {nums[left + k] = tmp[k];}// 释放内存free(tmp);
}/* 归并排序 */
void mergeSort(int *nums, int left, int right) {// 终止条件if (left >= right)return; // 当子数组长度为 1 时终止递归// 划分阶段int mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组// 合并阶段merge(nums, left, mid, right);
}

11.6.2   算法特性

• 时间复杂度为 𝑂(𝑛log⁡𝑛)、非自适应排序：划分产生高度为 log⁡𝑛 的递归树，每层合并的总操作数量为 𝑛 ，因此总体时间复杂度为 𝑂(𝑛log⁡𝑛) 。
• 空间复杂度为 𝑂(𝑛)、非原地排序：递归深度为 log⁡𝑛 ，使用 𝑂(log⁡𝑛) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 𝑂(𝑛) 大小的额外空间。
• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

11.6.3   链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 𝑂(1) 。

• 划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
• 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

具体实现细节比较复杂，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行学习。