动态规划–0-1背包问题

问题描述：
假设现有容量m kg的背包，另外有 i 个物品，重量分别为w[1] w[2]…w[i] (kg)，价值分别为p[1]、p[2]…p[i] (元)，将哪些物品放入背包可以使得背包的总价值最大？最大价值是多少？
(示例一：m=10 i=3重量和价值分别为3kg-4元，4kg-5元 ，5kg-6元)

穷举法（把所有情况列出来，比较得到总价值最大的情况）

1. 如果容景增大，物品增多，这个方法的运行时间将成指数增长
2. 每一个物品都有两种状态（放与不放，0和1状态），所以如果有n个物品，就有2的n次方种情况

internal class Program
{static void Main(string[] args){int m;int[] w = { 0, 3, 4, 5 };int[] p = { 0, 4, 5, 6 };Console.WriteLine(Exhaustivity(10,w,p));Console.WriteLine(Exhaustivity(3,w,p));Console.WriteLine(Exhaustivity(4,w,p));Console.WriteLine(Exhaustivity(5,w,p));Console.WriteLine(Exhaustivity(7,w,p));}public static int Exhaustivity(int m, int[] w,int[] p){int i = w.Length - 1;//物品的个数int maxPrice = 0;for(int j = 0; j < Math.Pow(2,m); j++){//取得j 上某一个位的二进制值int weightTotal =  0;int priceTotal = 0;for(int number = 1; number <= i; number++){int result = Get2(j, number);if (result == 1){weightTotal += w[number];priceTotal += p[number];}}if(weightTotal <= m && priceTotal > maxPrice){maxPrice = priceTotal;}}return maxPrice;}public static int Get2(int j, int number){int A = j;int B = (int)Math.Pow(2,number - 1);int result = A & B;if(result == 0){return 0;}return 1;}
}

动态规划算法

我们要求得 i 个物体放入容量为m(kg)的背包的最大价值（记为c[i,m])。在选择物品的时候，对于每种物品只有两种选择，即装入背包或不装入背包。某种物品不能装入多次（可以认为每种物品只有一个），因此该问题被称为0-1背包问题

对于c[i,m]有下面几种情况：

1. c[i,0]=c[0,m]=0
2. 当w[i]>m时 ，c[i,m]=c[i-1,m] (最后一个物品的重量大于容量，直接舍弃不用)
3. 当w[i]<=m的时候有两种情况，一种是放入i,一种是不放入i
   • 不放入i，c[i,m]=c[i-1,m]
   • 放入i ，c[i,m]=c[i-1,m-w[i]+p[i]
   • c[i,m]=max(不放入i,放入i)

01背包问题递归实现（不带备忘录的自顶向下法）

internal class Program
{static void Main(string[] args){int m;int[] w = { 0, 3, 4, 5 };int[] p = { 0, 4, 5, 6 };Console.WriteLine(UpDown(10,3,w,p));Console.WriteLine(UpDown(3,3,w,p));Console.WriteLine(UpDown(4,3,w,p));Console.WriteLine(UpDown(5,3,w,p));Console.WriteLine(UpDown(7,3,w,p));}//m是背包容量//i是物品个数//wp是物品的重量和价值的数组public static int UpDown(int m, int i,int[] w, int[] p ) //返回值是m可以存储的最大价值{if (i == 0||m== 0){return 0;}if (w[i] > m){return UpDown(m,i-1,w, p );}else{int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p ) + p[i];int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p );if (maxValue1 > maxValue2){return maxValue1;}return maxValue2;}}
}

01背包问题-递归实现（带备忘的自顶向下法）

internal class Program
{public static int[,] result = new int[11, 4];static void Main(string[] args){int m;int[] w = { 0, 3, 4, 5 };int[] p = { 0, 4, 5, 6 };Console.WriteLine(UpDown(10, 3, w, p));Console.WriteLine(UpDown(3, 3, w, p));Console.WriteLine(UpDown(4, 3, w, p));Console.WriteLine(UpDown(5, 3, w, p));Console.WriteLine(UpDown(7, 3, w, p));}//m是背包容量//i是物品个数//wp是物品的重量和价值的数组public static int UpDown(int m, int i, int[] w, int[] p) //返回值是m可以存储的最大价值{if (i == 0 || m == 0){return 0;}if (result[m,i]!=0){return result[m,i];}if (w[i] > m){result[m,i] = UpDown(m, i - 1, w, p);return result[m,i];}else{int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p) + p[i];int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p);if (maxValue1 > maxValue2){result[m, i] = maxValue1;}else{result[m,i] = maxValue2;}return result[m,i];}}
}

01背包问题（自底向上法）

internal class Program
{static void Main(string[] args){int m;int[] w = { 0, 3, 4, 5 };int[] p = { 0, 4, 5, 6 };Console.WriteLine(BottomUp(10,3, w, p));Console.WriteLine(BottomUp(3, 3, w, p));Console.WriteLine(BottomUp(4, 3, w, p));Console.WriteLine(BottomUp(5, 3, w, p));Console.WriteLine(BottomUp(7, 3, w, p));}public static int[,] result = new int[11, 4];public static int BottomUp(int m,int i, int[] w, int[] p){if (result[m,i] != 0)return result[m,i];for (int tempM = 1; tempM < m+1; tempM++){for(int tempI = 1; tempI <i+1;tempI++){if (result[tempM,tempI] != 0 )continue;if (w[tempI] >tempM){result[tempM, tempI] = result[tempM, tempI - 1];}else{int maxValue1 = result[tempM - w[tempI], tempI-1]+p[tempI];int maxValue2 = result[tempM, tempI - 1];if (maxValue1 > maxValue2){result[tempM, tempI] = maxValue1;}else{result[tempM,tempI] = maxValue2;}}}}return result[m,i];}
}