大佬复活，暴打空头，两天拉升 180%

GME 暴打空头

大家还记得 2021 年，美国散户大战华尔街的新闻吗？

当时在推特上，几位大佬进行号召，吸引了大量散户往里冲，短短一个月，把一家业绩平平的美股公司「游戏驿站（GME）」拉升了 25 倍，暴击了华尔街所有的做空机构。

在击退几乎所有机构之后，大佬们纷纷淡出，GME 也进入长期阴跌的周期中。

后来这事还被拍成了电影，名为《傻钱》：

而就在前天，当时号召干翻机构的大哥 Roaring Kitty（咆哮猫）突然复活，在推特中发了一张图片：

一个玩游戏的人突然正坐，变得专注。

要知道这位大佬，上一条推特可是在 2021 年（35 个月前），这不禁让人遐想。

受此影响，当日 GME 盘前上涨超 50%，开盘后多次触发停牌，盘中最大涨幅去到 110%，收盘时涨幅为 74.4%。

第二天盘前上涨超 100%，开盘后稍有回落，但收盘时仍收涨 60%。

短短两天，累积涨幅达 179.21%。

可见，疯狂还没停止，大家猜测这次戏码会往什么方向发展？

...

回归主线。

来一道和「字节跳动」相关的算法题。

题目描述

平台：LeetCode

题号：878

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案对取模后的值。

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3

输出：2

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3

输出：6

提示：

数学

提示一 : 从题面分析常见做法，从常见做法复杂度出发考虑其他做法

若不看数据范围，只看题面，容易想到的做法是「多路归并」：起始使用两个指针指向 [a, 2a, 3a, ... ] 和 [b, 2b, 3b, ...] 的开头，不断比较两指针所指向的数值大小，从而决定将谁后移，并不断更新顺位计数。

该做法常见，但其复杂度为，对于本题来说并不可行。

确定线性复杂度的做法不可行后，我们考虑是否存在对数复杂度的做法。

提示二 : 如何考虑常见的对数复杂度做法，如何定义二段性

题目要我们求第个符合要求的数，假设我们想要通过「二分」来找该数值，那么我们需要分析其是否存在「二段性」。

假设在所有「能够被 a 或 b 整除的数」形成的数轴上，我们要找的分割点是 k，我们期望通过「二分」来找到 k 值，那么需要定义某种性质，使得 k 左边的数均满足该性质，k 右边的数均不满足该性质。

不难想到可根据题意来设定该性质：小于 k 的任意数字 x 满足在范围数的个数不足 k 个，而大于等于 k 的任意数字 x 则不满足该性质。

提示三 : 如何实现高效的 `check` 函数

当确定使用「二分」来做时，剩下问题转化为：「如何快速得知某个中满足要求的数的个数。」

容易联想到「容斥原理」：「能被 a 或 b 整除的数的个数 = 能够被 a 整除的数的个数 + 能够被 b 整除的数的个数 - 既能被 a 又能被 b 整除的数的个数」。

其中 c 为 a 和 b 的最小公倍数。

求解最小公倍数 lcm 需要实现最大公约数 gcd，两者模板分别为：

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

提示四 : 如何确定值域

一个合格的值域只需要确定答案在值域范围即可，因此我们可以直接定值域大小为。

或是根据 a 和 b 的取值来大致确定：假设两者中的较大值为，此时第个符合要求的数最大不会超过，因此也可以设定值域大小为。

Java 代码：

class Solution {
    int n, a, b, c;
    int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    public int nthMagicalNumber(int _n, int _a, int _b) {
        n = _n; a = _a; b = _b; c = a * b / gcd(a, b);
        long l = 0, r = (long)1e18;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            if (check(mid) >= n) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return (int)(r % 1000000007);
    }
    long check(long x) {
        return x / a + x / b - x / c;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int n, a, b, c;
    int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    long check(long x) {
        return x / a + x / b - x / c;
    }
    int nthMagicalNumber(int _n, int _a, int _b) {
        n = _n; a = _a; b = _b; c = a * b / gcd(a, b);
        long l = 0, r = 1e18;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            if (check(mid) >= n) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return (int)(r % 1000000007);
    }
};

Python3 代码：

class Solution:
    def nthMagicalNumber(self, n: int, a: int, b: int) -> int:
        def gcd(a, b):
            return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
        def check(x):
            return x // a + x // b - x // c
        c = a * b // gcd(a, b)
        l, r = 0, 1e18
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            if check(mid) >= n:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return int(r % 1000000007)

TypeScript 代码：

function nthMagicalNumber(n: number, a: number, b: number): number {
    function gcd(a: number, b: number): number {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
    }
    function check(x: number): number {
        return Math.floor(x / a) + Math.floor(x / b) - Math.floor(x / c)
    }
    const c = Math.floor(a * b / gcd(a, b))
    let l = 0, r = 1e18
    while (l < r) {
        const mid = Math.floor((l + r) / 2)
        if (check(mid) >= n) r = mid
        else l = mid + 1
    }
    return r % 1000000007
}