举例

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考虑数组 $a=[1,3,3,5,8]$，对其中的相邻元素两两作差（右边减左边），得到数组$[2,0,2,3]$。然后在开头补上 $a[0]$，得到差分数组
$$d=[1,2,0,2,3]$$
这有什么用呢？如果从左到右累加 $d$ 中的元素，我们就「还原」回了 $a$ 数组 $[1,3,3,5,8]$。这类似求导与积分的概念。

这又有什么用呢？现在把连续子数组 $a[1],a[2],a[3]$ 都加上 $10$，得到 $a^{\prime }=[1,13,13,15,8]$。再次两两作差，并在开头补上 $a^{\prime }[0]$，得到差分数组
$$d^{\prime }=[1,12,0,2,-7]$$
对比 $d$ 和 $d^{\prime }$，可以发现只有 $d[1]$ 和 $d[4]$ 变化了，这意味着对 $a$ 中连续子数组的操作，可以转变成对差分数组 $d$ 中两个数的操作。

定义和性质

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对于数组$a$，定义其差分数组（difference array）为

$$d[i]=\{\begin{array}{ll}a[0],& i=0\\ a[i]-a[i-1],& i\ge 1\end{array}$$

性质 1：从左到右累加 $d$ 中的元素，可以得到数组 $a$。

性质 2：如下两个操作是等价的。

• 把 $a$ 的子数组 $a[i],a[i+1],\cdots ,a[j]$ 都加上 $x$。
• 把 $d[i]$ 增加 $x$，把 $d[j+1]$ 减少 $x$。

利用性质 2，我们只需要 $O(1)$ 的时间就可以完成对 $a$ 的子数组的操作。最后利用性质 1 从差分数组复原出数组 $a$。

注：也可以这样理解，$d[i]$ 表示把下标 $\ge i$ 的数都加上 $d[i]$。

示例

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1094.Car Pooling

参考资料：
https://leetcode.cn/problems/car-pooling/solutions/2550264/suan-fa-xiao-ke-tang-chai-fen-shu-zu-fu-9d4ra/