理解伽马分布

伽马分布

关键词：Gamma Distribution

文章目录

一、说明
二、Gamma 分布的基础概念
- 2.1 Gamma 分布的物理意义
- 2.2 对比泊松与伽马分布
- 2.3 伽马分布参数
三、具有伽马分布的高效牙科调度
四、后记

一、说明

在本文中，我们将探讨统计学中的基本概率分布之一“伽马分布”。我们将揭示它在连续随机变量建模中的重要性，并将其与泊松分布进行对比。通过了解其参数，例如形状和速率，并深入研究实际示例，例如预测患者到达牙科诊所。

二、Gamma 分布的基础概念

2.1 Gamma 分布的物理意义

Gamma 分布的核心是表示事件发生之前的时间概率，例如等待时间或某些产品的使用寿命。它由两个参数控制：形状（ α）和速率（ β），它们分别影响其形状和比例。这里务必不要与泊松分布混淆。

2.2 对比泊松与伽马分布

离散随机变量与连续随机变量：泊松分布对固定时间间隔内发生的事件数进行建模，给定事件发生的平均速率（例如：到达的客户数量）。另一方面，Gamma 分布的目的是对连续随机变量进行建模，表示非负实数（例如等待时间、生存时间…
参数：泊松分布由单个参数定义，通常表示为 lambda λ（表示事件的平均发生率）。伽马分布由两个参数定义：形状（ α）和速率（ β）

2.3 伽马分布参数

在这里插入图片描述

伽马分布。图片来源：builtin/data-science/gamma-distribution
1/ 形状参数 Alpha：shape 参数描述分布描述的事件数
2/ 比例参数 Beta：比例参数描述我们正在建模的事件之间的时间间隔。
3/ 累积分配函数（CDF）： Gamma 分布的 CDF 给出了随机变量 X 小于或等于某个值 x 的概率。它表示为 F（x），计算公式为：
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伽马分布中的累积分布函数（CDF）。图片来源：
瓦利德·苏拉博士
γ（α，βx）是较低的不完全伽马函数。
Γ（α）是 gamma 函数。
4/ PDF格式：
Gamma 分布的概率密度函数（PDF）由下式给出：
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x 是随机变量。
α 和 β 是形状和速率参数。
Γ（α）是 gamma 函数。
5/ 期望值
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6/ 方差

三、具有伽马分布的高效牙科调度

在这里插入图片描述

考虑牙科诊所的真实场景。患者根据泊松过程到达牙科诊所（这意味着患者的到达是相互独立的，并且随着时间的推移随机发生，没有任何固定模式或定期间隔），平均每小时 15 次。

让我们先计算一下前 10 位客户到达不到 3 分钟的概率！（我们可以使用伽马分布，因为我们正在对泊松过程中的等待时间进行建模）
在这种情况下：

形状参数（α）（到达次数）它是 3。
比例参数（β）为 60/15 或（1/15）*60

import scipy.stats as statsalpha = 3
beta = 60/15 # Average time between arrivals (minutes)
time_until_3_customers = 10 #time until the arrival of the first 3 customers (in minutes)# Calculate the probability using the gamma CDF
probability_less_than_10_minutes = stats.gamma.cdf(time_until_3_customers, a=alpha, scale=beta)print("Probability that it takes less than 10 minutes for the first 3 customers to arrive:", probability_less_than_10_minutes)