题
初中数学
初中数学竞赛模拟练习
已知 x x = ( 4 9 ) 4 9 x^x=(\frac{4}{9})^\frac{4}{9} xx=(94)94， x ≠ 4 9 x\neq\frac{4}{9} x=94，求值 x = _ _ _ _ _ x=\_\_\_\_\_ x=_____。
解
x x = ( ( 2 3 ) 2 ) ( 4 9 ) = ( 2 3 ) 2 × 4 9 = ( 2 3 ) 8 9 = ( 2 3 ) n n × 8 9 = ( 2 3 ) n × 8 9 × n \begin{equation} \begin{split} x^x&=((\frac{2}{3})^2)^{(\frac{4}{9})}\\ &=(\frac{2}{3})^{2\times\frac{4}{9}}\\ &=(\frac{2}{3})^{\frac{8}{9}}\\ &=(\frac{2}{3})^{\frac{n}{n}\times{\frac{8}{9}}}\\ &=(\frac{2}{3})^{n\times{\frac{8}{9\times n}}} \end{split} \end{equation} xx=((32)2)(94)=(32)2×94=(32)98=(32)nn×98=(32)n×9×n8
分离底数和幂数
{ x = ( 2 3 ) n x = 8 9 × n = ( 2 3 ) 2 × 2 n \begin{cases} x=(\frac{2}{3})^n & \\ ^x=^\frac{8}{9\times n} =^{(\frac{2}{3})^2\times\frac{2}{n}} \end{cases} {x=(32)nx=9×n8=(32)2×n2
⟹ ( 2 3 ) n = ( 2 3 ) 2 × 2 n \Longrightarrow (\frac{2}{3})^n=(\frac{2}{3})^2\times\frac{2}{n} ⟹(32)n=(32)2×n2
两边同时除以 ( 2 3 ) 2 (\frac{2}{3})^2 (32)2
( 2 3 ) n − 2 = 2 n = ( 2 n ) 1 (\frac{2}{3})^{n-2} =\frac{2}{n}=(\frac{2}{n})^1 (32)n−2=n2=(n2)1
1.左右两边都等于1时：
( 2 3 ) n − 2 = 1 ( 2 n ) 1 = 1 \begin{align} (\frac{2}{3})^{n-2} =1 & \\ (\frac{2}{n})^1=1 & \end{align} (32)n−2=1(n2)1=1
求解(3)得 n = 2 n=2 n=2,将其代入(2)式。即： ( 2 3 ) 2 − 2 = 1 (\frac{2}{3})^{2-2} =1 (32)2−2=1，等式成立。
2.底数相等且幂数相等时：
n − 2 = 1 2 3 = 2 n \begin{align} n-2 =1 & \\ \frac{2}{3} = \frac{2}{n} & \end{align} n−2=132=n2
同时求解(4)(5)式，得 n = 3 n=3 n=3，等式成立。
整理
{ n = 2 n = 3 \begin{cases} n=2 & \\ n=3 \end{cases} {n=2n=3
代入(2)式
{ x = ( 2 3 ) 2 = 4 9 x = ( 2 3 ) 3 = 8 27 \begin{cases} x=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9} & \\ x=(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27} \end{cases} {x=(32)2=94x=(32)3=278
根据题目得
∵ x ≠ 4 9 ∴ x = 8 27 \begin{equation} \begin{split} \because x&\neq\frac{4}{9} \\ \therefore x&=\frac{8}{27} \end{split} \end{equation} ∵x∴x=94=278
