【莫比乌斯变换-03】python实现圆对圆的变换

在这里插入图片描述

文章目录

  • 一、说明
  • 二、python实现复平面的莫比乌斯变换
  • 三、线的变换
  • 四、画笑脸

一、说明

我们在前面的文章中,叙述了莫比乌斯变换的复数分析,以及种种几何属性,本篇中叙述如何程序地实现:复平面上的圆在莫比乌斯变换下的图像是另一个圆。为了使这一点始终成立,您必须将一条线作为圆的特例,如果您愿意,可以是无限半径的圆。

二、python实现复平面的莫比乌斯变换

这篇文章将用 Python 代码和图表来说明这些陈述。首先,一些在复平面上绘制圆和其他曲线的代码。

 from numpy import exp, pi, linspaceimport matplotlib.pyplot as pltθ = linspace(0, 2*pi, 200)def circle(radius, center):return center + radius*exp(1j*θ)def plot_curves(curves):for c in curves:plt.plot(c.real, c.imag)plt.show()plt.close()

接下来,编写莫比乌斯变换的代码,以及我们将在绘图中使用的特定莫比乌斯变换。

def mobius(z, a, b, c, d):return (a*z + b)/(c*z + d)def m(curve):return mobius(curve, 1, 2, 3, 4)

现在我们将绘制三个圆及其在莫比乌斯变换下的图像

m ( z ) = ( z + 2 ) / ( 3 z + 4 ) m ( z ) = ( z + 2)/(3 z + 4) m(z)=(z+2)/(3z+4)

使用以下代码。

    circles = [circle(1, 0), circle(2, 0), circle(2, 2)]plot_curves(circles)plot_curves([m(c) for c in circles])

这会产生
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

请注意,第一个蓝色圆圈最初是最小的圆圈,并包含在第二个橙色圆圈内。但在图像中,蓝色圆圈变得最大,并且不再位于橙色圆圈内。这是因为我们的莫比乌斯变换在 -4/3 处有一个奇点,并且围绕该点事情会发生翻天覆地的变化。

三、线的变换

接下来我们将看一个线与线之间映射的示例。

   line = linspace(-100, 100, 600)curves = [line, 1j*line - 4/3]plot_curves(curves)plot_curves([m(c) for c in curves])

这会产生
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

这些线被映射到线,因为它们都穿过 -4/3 处的奇点。蓝色的实轴映射到其自身。 -4/3 + iy行被移至实部 1/3。

最后,让我们看一下映射到圆的直线。由于莫比乌斯变换的逆变换是另一种莫比乌斯变换,因此该示例还表明圆可以映射到直线。

    lines = [1j*line - 4, 1j*line + 4, line - 4j, line + 4j]plot_curves(lines)plot_curves([m(c) for c in lines])

这会产生
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
请注意,圆圈并不是很接近。那是因为我的线只从 -100 到 100,而不是 -∞ 到 ∞。圆圈中的间隙为 1/3,因为当z趋向 ±无穷大时,这是我们变换 ( z + 2)/(3 z + 4)的极限。

四、画笑脸

莫比乌斯变换的很重要指标是奇点(与不动点是两个概念)位置。为了进一步说明问题,我想看一下笑脸以及在不同的莫比乌斯变换下它会发生什么。
在这里插入图片描述
这是绘制原始脸部的代码。

  dash = linspace(0.60, 0.90, 20)smile = 0.3*exp(1j*2*pi*dash) - 0.2jleft_eye  = circle(0.1, -0.4+.2j)right_eye = circle(0.1,  0.4+.2j)face = [circle(1, 0), left_eye, smile, right_eye]

接下来,让我们用参数 (1, 0, 1, 3) 对该面进行莫比乌斯变换。奇点位于 -3 处,位于面外且距离相当远。

求奇点方法:分母等于0, f ( z ) = z z + 3 f(z)=\frac{z}{z+3} f(z)=z+3z z = − 3 z=-3 z=3

在这里插入图片描述
接下来我们将使用参数 (1, 0, 1, -1+1j),其奇异性为 1 – i,更接近脸部,因此失真更多。

求奇点方法 f ( z ) = z z + ( − 1 + 1 j ) = z f(z)=\frac{z}{z+(-1+1j)}=z f(z)=z+1+1jz=z z = 1 − j z= 1-j z=1j
在这里插入图片描述

现在我们使用参数 (1, 0, 3, 1),将奇点置于面内的 -1/3 处。
在这里插入图片描述
最后,我们查看参数 (1, 0, 1, 0.4-0.2j),将奇点放在左眼内。
在这里插入图片描述
结论:奇点在不在单位圆内部,是图片保持信息的关键因素。
下一篇文章将解释如何选择莫比乌斯变换的参数以使点到达您想要的位置。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/831934.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

基于高德 API 的自动获取气候数据的 Python 脚本

文章目录 高德申请 Key脚本介绍运行结果示例 源代码: https://github.com/ma0513207162/PyPrecip。pyprecip\reading\read_api.py 路径下。 项目介绍:PyPrecip 是一个专注于气候数据处理的 Python 库,旨在为用户提供方便、高效的气候数据处理…

linux基本操作

vim的基本操作 正常模式:启动vim后默认处于正常模式。不论位于什么模式,按下Esc建都会进入正常模式。 插入模式:在正常模式中按下i,l,a,A等键,会进入插入模式。现在只用记住按i键会进行插入模…

文本内容如何扫码展示?文本转二维码常用技巧

随着网络的不断发展,现在很多人会通过二维码的方式来作为内容的载体,用来给其他人提供需要的信息或者其他内容。其中,将文本制作二维码就是很常用的一种方式,通过扫码展示文字内容,比如信件、物品信息、联系方式等类型…

python学习笔记----函数进阶(七)

一、函数多个返回值 def test_return():x 1y "hello"z Truereturn x, y, za, b, c test_return()print(a) print(b) print(c)二、函数多种传参方式 2.1 函数参数种类 根据使用方式上的不同,函数有4种常见参数的使用方式: 位置参数关键…

EPAI手绘建模APP资源管理和模型编辑器2

g) 矩形 图 26模型编辑器-矩形 i. 修改矩形的中心位置。 ii. 修改矩形的长度和宽度。 h) 正多边形 图 27模型编辑器-内接正多边形 图 28模型编辑器-外切正多边形 i. 修改正多边形的中心位置。 ii. 修改正多边形中心距离端点的长度。 iii. 修改正多边形的阶数。阶数为3&…

Linux Multipath极简安装配置

1.安装软件 #yum install -y device-mapper* 2.开启并设置开机启动 #systemctl start multipathd && systemctl enable multipathd 3.连接存储 在存储上对主机进行卷映射 4.修改配置文件 注:此配置文件可能存在,也可能不存在&#xff0c…

禅道项目管理系统身份认证绕过漏洞复现(QVD-2024-15263)

0x01 产品简介 禅道项目管理软件是国产的开源项目管理软件,专注研发项目管理,内置需求管理、任务管理、bug管理、缺陷管理、用例管理、计划发布等功能,完整覆盖了研发项目管理的核心流程。 0x02 漏洞概述 2024年4月,互联网披露禅道系统存在身份认证绕过的漏洞情报。经分…

【Unity 协程】

Unity中的协程(Coroutine)是一种编程结构,它允许你以一种看似同步的方式编写可能需要异步执行的代码。协程特别适用于需要在一定时间后执行操作,或者在循环执行某段代码直到某个条件满足时的场景。 协程使用IEnumerator委托来实现…

Qt中的对象树

一. QT对象树的概念 QObject 的构造函数中会传入一个 Parent 父对象指针,children() 函数返回 QObjectList。即每一个 QObject 对象有且仅有一个父对象,但可以有很多个子对象。 那么Qt这样设计的好处是什么呢?很简单,就是为了方…

基于HAL库的stm32中定时器的使用--定时器中断每隔一秒进行led灯的闪烁以及定时器生成PWM

一:什么是定时器 (1)stm32定时器,是存在于stm32单片机中的一个外设。stm32共有八个定时器,两个高级定时器(TIM1、TIM8),四个通用定时器(TIM2、TIM3、TIM4、TIM5&#xff…

docker 指定根目录 迁移根目录

docker 指定根目录 迁移根目录 1、问题描述2、问题分析3、解决方法3.1、启动docker程序前就手动指定docker根目录为一个大的分区(支持动态扩容),事前就根本上解决根目录空间不够问题3.1.0、方法思路3.1.1、docker官网安装文档3.1.2、下载docker安装包3.1.3、安装doc…

贪吃蛇(下)游戏的实现

感谢大佬的光临各位,希望和大家一起进步,望得到你的三连,互三支持,一起进步 个人主页:LaNzikinh-CSDN博客 文章目录 前言一.蛇和食物的打印二.游戏的运行逻辑三.结束游戏 (善后工作)四.游戏的测…

找出两个数的最小公倍数和最大公约数

1 问题 已知两个数,用代码写出程序,求两个数的最小公倍数和最大公约数? 2 方法 利用Python自定义函数解决 代码清单 1 #Made by Txd,Hsy,Lyhdef calculation(x,y):#自定义一个函数 common_multiplemin(x,y)#找出两个数最小的那个数 for i in rang…

【数据结构和算法】--RangeSet时间范围管理示例

目录 一、问题二、RangeSet实现原理2.1、RangeSet常用方法2.2、核心原理2.3、核心特性2.4、基本使用 三、具体应用 一、问题 最近项目要求对一批时间范围进行管理,要求不能交叉。RangeSet是专门用于高效处理范围集合。 二、RangeSet实现原理 RangeSet表示一组不重…

C语言中字符串输入的3种方式

Ⅰ gets() 函数 gets() 函数的功能是从输入缓冲区中读取一个字符串存储到字符指针变量 str 所指向的内存空间 # include <stdio.h> int main(void) {char a[256] {0};gets(a);printf("%s",a);return 0; }Ⅱ getchar() # include <stdio.h> int mai…

工业光源环形系列一AOI光源特点

产品特点 ◆具有环形光源所有的特点&#xff1b; ◆采用不同角度多色光&#xff0c;使被照物体的成像更具立体特征&#xff1b; ◆每种颜色可独立控制。

MySQL为什么默认引擎是InnoDB?

因为InnoDB特别强大,其支持很多东西 1.支持事务: 意味着对于一个复杂的SQL语句要么全部执行成功,要么全部失败,因为其底层是原子性的 2.支持并发(行级并发) 意味着面对高并发,多个用户可以同时访问一个表的不同行,不同行之间上锁,而不是给一个表上锁,这样就提高了高并发的性能和…

在Linux中mknod命令有什么用

2024年5月5日&#xff0c;周日下午 mknod命令用于在Linux系统中创建设备节点文件。设备节点文件是Linux系统中与硬件设备通信的一种特殊文件类型。mknod命令允许用户手动创建这些设备节点文件&#xff0c;以便与系统中的硬件设备进行交互。 具体来说&#xff0c;mknod命令的语法…

CSS 选择器知识点总结

这篇文章的内容是 CSS 的选择器&#xff0c;这是写页面样式的第一步&#xff0c;知道 CSS 有哪些选择器是每个前端工程师必会的内容之一。 一、什么是 CSS 中的选择器&#xff1f; CSS 中的选择器用于选择要应用样式的 HTML 元素。选择器是 CSS 中的关键部分&#xff0c;允许…

论文辅助笔记:Tempo之modules/prompt.py

1 get_prompt_param_cls 2 get_prompt_value 3 Prompt 类 3.1 _init_weights 3.2 forward