今天对字符串有了一点新的理解，遂再写一篇博客。

字符串取模

定义

可以参考 我之前写的博客。不再赘述。下文用长度表示。

运算

$$(S+c)\equiv (S\mathrm{mod}P)+c(\mathrm{mod}P)$$

KMP

定义 $go(i,c)$ 函数，表示 $P$ 的 $i$ 前缀添加字符 $c$ 的字符串的模 $P$ 值。定义失配函数（fail）$f_i$ 表示 $P$ 的 $i$ 前缀时增加的字符 $c$ 失配的模 $P$ 值。

$$go(i,c)=\{\begin{array}{ll}i+1& P_i=c\\ go(f_i,c)& P_i\ne c\end{array}$$

int go(int i, char c)
{if(P[i] == c) return i + 1;if(i == 0) return 0;return go(f[i], c); 
}...for(int i=0; i<P.size(); i++)f[i+1] = go(f[i], c); // 这里 

fail 数组分析

关于 $f_i$，一方面从自动机角度考虑，即 ${\pi }_i$。

一方面从字符串取模的角度考虑，$f_i=P[\mathrm{1..}i)$ 模 $P$ 值。那么 $P[\mathrm{0...}{f}_i)\equiv P[\mathrm{1...}i)(\mathrm{mod}P)$，发现 $f_i$ 同样满足 ${\pi }_i$ 的性质。

复杂度分析

对于一般的 KMP 问题，设文本串长 $n$，模式串长 $m$。

int cur = 0;
for(int i=0; i<text.size(); i++)
{cur = go(cur, text[i]);...
}

首先有 $f_i<i$。文本字符可能提供当前字符串模 $P$ 后的长度，至多增加 $n$ 次。因此复杂度是线性的。

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无限猴子类技巧

问题形如出现某个模式串 $P$ 的期望长度。

由于只关心匹配，考虑只关心模 $P$ 的值，据此结合待定系数法做期望 dp 即可。

例题

Censoring S

无限猴子

[CTSC2006] 歌唱王国

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清除模式类技巧

如题，清除字符串中的模式串 $P$。

逐位枚举，考虑当前字符串模 $P$ 的值即可。

例题

清除模式

Pareidolia G