动画：把物体变成活的，让它动起来
更关注的是美学。早期的动画是画出来的，并不关心对不对，符不符合物理，只要看起来对
图形学里对动画理解为对于建模或几何的拓展。动画无非就是在不同的时间或不同的帧有不同的几何形状，也就是将3D的模型延伸到时间的维度
将很多的图按顺序和一定的速度播放（因为人眼有视觉暂留的效应，所以不需要在整个时间范围内进行非常集中的采样）
Film（电影）：每一秒放24张图（24fps）
Video（平常所说的视频）：30fps
游戏（需要体验感好，连贯性高）：60fps（甚至会到144HZ，也就是144张图每秒）
Virtual reality（虚拟现实）：90fps（为了让人们戴上头戴式设备不晕，会有很多要求，就包括对帧率的要求非常高，要非常流畅，两个眼睛的帧率要达到90fps）
Historical Points in Animation
远古人类所画的壁画
随着科学的进步，人们人为的制造一些真正可以看到的动画
最早期，有类似圆盘的物体，圆盘中心固定在某个地方，可以旋转
到一定阶段，真正发明了电影技术
第一部手绘的和电影长度相当（Feature-Length）的动画。每一秒放24帧，那就要放24张图，放在一起播放，耗时很长
计算机本身也可以生成动画
显示人脸的三维网格模型
侏罗纪公园，真正将用电脑生成的恐龙放到了电影
第一个整个电影完全用计算机生成（CG，computer generate）——皮克斯的玩具总动员
是光栅化的方式生成的阴影
10年前的计算机动画
冰雪奇缘2，充满了各种细节
Keyframe Animation
上面一行，是一个人在不同的时间有3个不同的动作。（这3个动作是重要的位置，对应的帧就叫关键帧）
下面一行相当于在2个动作之间补出过渡的动作
给定一系列不同的帧，中间要插值出来，这就好像每一帧中有若干重要的点，这些重要的点在其他的帧长什么样，然后将它们一一对应找出来后，就可以将这些点在不同的帧之间通过插值的方法算出来
最简单的是线性插值，但下图就已经不是线性的了，对于这种过渡如何看着自然、真实，是有一定讲究的
线性插值：给你任意的连续的点，将其连起来，连成线段
但有时希望更好的连续性（比如C1），那就要用到曲线和样条，也就是说动画和之前所说的几何是非常有关联的
Physical Simulation
应用在物体有一个质量（质点），应用在物体上的力叫F，然后它就会获得一个加速度a（有加速度，就可以算速度，有速度就可以算位置。也就是说只要知道物体上的力和初始条件（初始位置、初速度），就可以动态的更新下一时刻的位置）
往某一个方向扔一个小球，小球会形成一个抛物线（因为它始终受到重力的作用，自然就会有一个加速度，也就会有速度，从而影响位置）
对于衣服来说，是用各种各样的网格形成的，任何一个顶点上有一定的质量，肯定会受到重力的影响，因为它又和其他的顶点相连，肯定还会受到来自其他点的作用力
虽然会复杂，但只要正确的把它受力的模型建立出来，就可以通过解一系列的方程将它算出来
例子：布料模拟
如果模拟得好，是不会出现反物理的现象的（比如衣服进到身体里等穿模现象），这就涉及到一系列的碰撞检测等问题
例子：流体（Fluids）
将下面的水分成2步看：
- 先模拟水是如何运动的，它的水滴在各种各样的地方是怎么形成的
- 当模拟了位置和形状后，进行渲染，得到它长什么样
Mass Spring System/质点弹簧系统
绳子模拟器：可以把一根绳子模拟成很多小的弹簧连接在一块，可以让它在重力的作用下来回摆
头发本身受重力，头发和头发之间有摩擦力
布料本身是网格描述的，自然就可以用各种不同的质点弹簧系统描述它，还可以通过一个点进行拖拽
质点弹簧系统：是一系列相互连接的质点和弹簧
最基础的单元：一个弹簧左右分别连着2个质点
一个理想的弹簧（没有长度、被拉开多长就会产生相应多大的力）
f a→b是应用到a上，往b方向的作用力，取决于a和b之间有多远
（b-a）是一个从a指向b的向量，所以这和它本身长度是有关系的，b-a越长，这个力越大，这样就可以写出a点往b方向去的力
Ks是劲度系数（胡克定律：固体材料受力后，应力和形变量之间成线性关系）
因为力的作用的相对性，a受到向右的力，b肯定受到向左的力，2和互为相反
弹簧正常情况下都应该有一定长度，叫做Rest length
弹簧可以拉伸和挤压，下面考虑拉伸，弹簧拉伸后：
b和a的距离为||b-a||
拉开的形变量（距离）为||b-a||-l
受力的方向（（b-a）归一化）：（b-a）/||b-a||
由于能量守恒，它会永远的振动下去（动能和势能始终在进行一个转换的过程）
加入摩擦力
引入在物理仿真中经常会用到的记号：
平常我们会用x来表示位置，x的一阶导数（x′）表示速度，x的二阶导数（x′′）表示加速度
在物理模拟中会用x上面加一个点表示速度，加2个点表示加速度
加入摩擦力（damping force）使它能停：
对于任何一个运动的质点，如果想让它停，那力的方向肯定和速度方向相反（如上图，b的速度往哪，摩擦力就与它相反，再乘上一个强度kd）
但这样会引起所有的运动都停下来。假如有一根弹簧a和b，a和b同步的向右一直移动，这样其实a和b之间没有相对的运动，也就是说这个弹簧没有拉伸，它不会振动，最后还会被摩擦力停下来。这样描述的摩擦力只能描述外部的力，描述不了弹簧之间内部的力（损耗）
拿一个质点弹簧系统，竖着放，一松手，会往地上掉，而且它作为一个整体，下落的速度是定的，那如果对a和b都应用摩擦力，它就会整个让弹簧往地上掉得越来越慢
加入内部摩擦力
内部的摩擦力应该和它们的相对运动有关系
内部摩擦力的目的：希望弹簧恢复到正常长度。只要a和b被拉开了，a就会向b方向去靠，所以这个摩擦力肯定是要使其往这个方向去。所以应用在b上的力的方向应该是向左的
方向：-（b-a）/||b-a||
大小：如上图红框里的部分（点乘），a和b之间的相对速度投影在ab方向上的速度（投影是因为有些速度（比如a固定，b绕a做圆周运动，它的速度是垂直弹簧的）并不能引起弹簧长度的改变）
弹簧可以组合成各种形状，如上图，可以每2根共用一个质量表示一张纸，也可以在三维空间中进行连接
现在用各种弹簧模拟一块布
问题1：切变会受影响（如果拉着上图布的2个角往外拽，形状自然会被拉成中间被拉成，两边收的形状。但布会抵抗切变的力，不会影响形状）
问题2：如果有一种力让整个形状变得不是一个平面（即out-of-plane bending）（如果沿着对角线折一块布，布本身有对抗这个的力）
解决切变的问题—加入斜的对角线
在以上的形状中加入斜的对角线，再拉就不能变成之前的形状了（因为拉的话，新加的蓝线会被压缩，那弹簧就会向外抵抗它）
但是这个结构不对称（对于一块布，往任何一个方向拉它，它的行为应该是一致的）
虽然沿右上到左下对折解决了问题2，但沿右下到左上对折仍然没有解决问题2
加上另外一个方向上的斜对角线
但这个形状不能抵抗非平面的弯曲（沿着竖的或横的线折叠）
加上skip connection的连线
如上图的红线，任何一个点都和它隔一个点连一根线
这个红线的连接是非常弱的（正常情况下布也可以折过来），蓝线非常强
质点弹簧系统做的裙子（只是简化的表示，并无纤维、股和线等之间的力的关系）
有限元方法（FEM (Finite Element Method)），这个方法被广泛应用于车子碰撞（车子接触墙的地方受力，为什么车子一直到车尾都会坏掉，因为力之间有传导diffusion的作用）
Particle Systems
描述一些很小很小移动的东西
建模一堆很微小的东西，定义每一个粒子会受到的力（有重力、风力、粒子和粒子之间的力）
很容易模仿一些魔法效果、雾、灰尘等等
粒子越多模拟得越精细，但是越慢；越少，跑起来越快，但效果差一些
挑战：
粒子系统可以模拟流体，这样可能需要很多粒子
粒子和粒子之间的作用不只有碰撞，还可能有引力（这样就要找粒子周围的最近的多少个粒子，这样就需要一些加速结构，然后粒子的位置还会移动，就还要进行更新）
算法：
- 动态生成一些新的粒子
- 计算每个粒子的作用力（内部的、外部的）
- 根据作用力更新粒子的位置和速度
- 如果粒子有存活时间，移除消亡的粒子
- 渲染粒子
难点：定义相互作用力，解作用力
吸引力和排斥力：
重力,电磁力, …
弹力,推力, …
阻尼力：
摩擦力, 空气阻力, 粘滞力, …
碰撞：（粒子和粒子之间、和墙、容器等，不能穿模）
万有引力：再小的物体都会满足这个规律，对于灰尘和粒子来说肯定会有万有引力
对于星系来说，也和上面是同样的道理。对于粒子如何被画出来，也是先模拟，再渲染，这2个过程是分开的
基于粒子的流体模拟
模拟的是粒子，渲染的是像玻璃、是否带白沫等等
粒子系统不一定只是描述最简单的点，这个粒子也就是在一个很大范围内有很多重复的东西（一个群体中的个体）如模拟一个鸟群，个体的鸟应该满足哪些规则（可以定义出它们之间的相互关系）
个体的运动属性：
吸引：任何一只鸟都不愿意落单，都会找到它周围的鸟，并试图融入进去
排斥：任何一只鸟都不希望和其他鸟离得太近
对齐：如果大家都往某一个方向飞，鸟因为不会离群，也会沿着它能看到的大家飞的主要方向
Forward Kinematics/正运动学
在图形学中运动学分为正向的和反向的，即正运动学和逆运动学
正运动学
描述一个和人骨骼连接拓扑结构类似的骨骼系统，可以定义不同的关节
3种不同的关节
- Pin (1D rotation) 钉子钉上的关节，钉上后只能在钉住的平面内往一个方向旋转
- Ball (2D rotation)有一个东西可以包住一个球，这个球可以任意的在任意方向旋转
- Prismatic joint (translation)可以拉长，也就是可以有一些移动
可以定义一些简单的关节模型（即定义复杂模型是如何相连的），整个结构可以形成一个树形的加速结构
如上图，只能在平面内发生旋转，类似于肩和肘的旋转，假设第一段旋转θ1度，第二段旋转θ2度，那尖端在哪？
先算出上方黑点的位置，因为θ2是在θ1的基础上旋转的，可以用θ1加θ2计算
所以正向运动学，只要能定义好连接方式，定义好它们之间的各种位置，就可以找到各种点的位置。还可以画出随时间变化的角度的曲线
例子：走路
优点
实现容易（告诉你任何一个位置，可以算出任何一个地方停在哪）
缺点
它的定义都很物理（比如定义什么东西旋转多少角度）
但是艺术家们更喜欢直观的控制尖端进行动画的创建，而非调整角度
Inverse Kinematics/逆运动学
为了让艺术家更好的使用这套系统，去直观的的调骨骼的位置，就引入了逆运动学
逆运动学可以手里捏着尖端到处移动，它会自动的调整它的关节的位置，使得尖端就在你要的位置上
如上图，逆运动学就是固定P点，它会告诉你θ1、θ2
解起来就比较复杂
逆运动学的解有时候不唯一（多解）
如上图，尖端的位置确定了，但是可以有2个不同的摆放方式，取哪一个？
逆运动学有时会出现无解的情况
如上图，最上面的关节点只可能出现在下图的虚线上，尖端通过旋转可以在一个圆上，从而尖端只有可能在外层的圈和内层的圈之间，其他位置到不了
优化问题：
一般N链IK问题的数值求解
•选择初始配置
•定义错误度量(例如：目标与当前位置之间距离的平方)
•计算误差梯度作为配置的函数
•应用梯度下降（或牛顿方法，或其他优化过程）（知道尖端位置，如何优化θ1和θ2）
梯度下降法来解,而不是用数学方法真的去解θ1,θ2
Rigging
对于一个形状的控制，其实就是木偶操作（就好像用各种线提木偶的部件的不同位置，它就会形成某一种造型），一定程度上就是逆运动学的一个应用。动画或电影就会应用Rigging给角色添加动作
一些建模软件（3ds MAX、MAYA），要先给物体加上骨骼，要知道操作哪些点会影响其他的哪些点，包括软选取、蒙皮等操作。
本课程就理解成对物体或角色的不同地方加一些控制点
例子
人物有2个不同的造型，这2个造型之间可以通过插值的方式做。利用控制点做了2个不同的造型，然后将控制点和控制点之间的位置做插值
实际上在blend控制点以及它周围能够影响的区域
Motion Capture/动作捕捉
给真人各个不同的地方加上控制点，让这些控制点的位置直接反应到虚拟的造型上去。要建立虚拟的人物和真实的人物之间的关系
优点
可以迅速捕捉大量的真实数据。如果艺术家们直接去调可能耗时会很长
真实感非常强
缺点
进行动作捕捉需要很多前期的准备（上面的衣服不容易穿，放标志点不自然）
捕捉出来的动作可能不符合艺术家的需求，需要调整（比如真人去演动画人物，动画人物的表情是很夸张的；或者有时捕捉不到好的数据，比如捕捉条件有限制，人在正面的时候看到的控制点，背面也有但正面看不到，那就要在背后加一个摄像机，这就需要成本，而且正常需要更多的摄像机；人物动作的时候还会遮挡）
除了白色控制点，还有磁力的（不受遮挡影响）、机械的（真正在人身上贴上机械的东西）
应用最广泛的还是光学的捕捉方法，贴一些Maker（贴片或小球）贴在人身上，然后用很多很复杂的摄像机，将这些点的位置非常准确的测出来
下面的曲线就是一个控制点（Maker）在不同的时间会出现在三维空间中的位置显示出来
虽然通过动作捕捉等非常真实的动画生成方式，可以得到非常真实的动画但是也会有一些担忧
Uncanny valley (恐怖谷效应)：也就是害怕被人工智能统治世界，如果生成的东西过于真实，并且有人利用它做一些坏事
