2024华中杯数学建模挑战赛选题建议及各题思路来啦！

大家好呀，华中杯数学建模开始了，来说一下初步的选题建议吧：

首先定下主基调，

本次华中杯推荐选择C题目。难度方面A＞B＞C，A是优化类题目，难度较高，建议参考23国赛A优秀论文。B是数据分析类题目，三四问会上一些难度，但预计选择人数会多一些，很难做得出彩。推荐选择C题，经典的数值模拟题目，逻辑很清晰，绘制图片也比较好绘制，大家到时候直接运行我给的python代码即可，不需要你配环境，我会录制怎么运行的视频，无脑运行，很简单。

精力有限，以下只是简略的图文版初步思路，更详细的视频版完整讲解请移步：

2024华中杯数学建模选题建议及ABC题详细思路！_哔哩哔哩_bilibili

OK，接下来讲一下ABC题的思路。

A题太阳能路灯光伏板的朝向设计问题

太阳能路灯由太阳能电池板组件部分（包括支架）、LED 灯头、控制箱（包含控制器、蓄电池）、市电辅助器和灯杆几部分构成。太阳能电池板通过支架固定在灯杆上端。太阳能电池板也叫光伏板，它利用光伏效应接收太阳辐射能并转化为电能输出，经过充放电控制器储存在蓄电池中。太阳能辐射由直射辐射和散射辐射组成，其中直射辐射对聚集太阳能系统起到了至关重要的影响。大气层对太阳能直射辐射的衰减变化量与其辐射强度、所穿过的大气层厚度成正比，其中衰减系数（W/(m2 km)）反映了一个地区大气层的透光性能。通常地球表面大气层厚度按 1000 公里计算，大气层可视为包裹地球的球壳。太阳光到达大气层外层上的平均太阳能辐射强度 I0为 1353W/m2。受地球运行轨道及太阳光传播的距离影响，大气层外层太阳能辐射强度随时间发生改变。附件 sheet2 给出了 1-12 月份大气层外层太阳能辐射强度具体数值。安装光伏板的朝向直接影响到光伏板获得太阳辐射能量的多少。光伏板的朝向包括方位角和水平仰角，方位角为光伏板的法线在水平面上的投影与正南方向的夹角。并按如下方法规定：如果一个光伏板朝向正南，那么它的方位角为零；如果一个光伏板朝向正东，那么它的方位角为 90º ；如果一个光伏板朝向正西，那么它的方位角为−90 º；水平仰角为光伏电池板平面与水平面的夹角。当太阳光线和光伏板的法线方向一致时，光伏板瞬时受到的太阳照射能量最大，否则会有余弦损失。
某城区地处北纬 3035，东经 11419，附件 sheet1 给出了该城区 2023年 5 月 23 日晴天状况下测得地表水平面受到的太阳直射强度值。关于赤纬角、太阳高度角、太阳时角等相关概念，可参见全国大学生数学建模竞赛 2012B 题附件 6、2015A 题讲解和 2023A 题附录。请在仅考虑太阳直射辐射的情况下建立数模，回答如下问题：
1. 请计算 2025 年每月 15 日，在晴天条件下，该城区一块面积为 1m2的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为 20、40、60时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量；
2. 如果光伏板受到的太阳直射辐射总能量最大时，可使路灯蓄电池储电量最大。请设计该城区固定安装太阳能光伏板的朝向，使光伏板在晴天条件下受到的太阳直射辐射日均总能量最大；
3. 当光板受到太阳直射强度过低时，它转换电能的效率也很低；而当光伏板受到太阳直射强度过高时，它转换电能实现储电的效率也会受到限制。理想的情况是，光伏板受到太阳直射强度上午大于 150 W/m2、下午大于 100 W/m2的时间尽可能长，这样可以使路灯蓄电池的储电效率更高。综合考虑路灯蓄电池的储电效率高和储电量大这两个目标，请设计出光伏板固定安装的最优朝向，并计算晴天条件下光伏板受到的太阳直射辐射日均总能量和太阳直射辐射（上午大于 150 W/m2、下午大于 100W/m2）时长

问题1: 计算2025年每月15日光伏板接收到的太阳辐射

数据分析与准备

1. 附件数据使用：利用提供的太阳辐射强度数据。

2. 天文计算：计算赤纬角、太阳时角、太阳高度角等参数。

数学模型建立

1. 辐射传输模型：使用经典的太阳辐射模型，如简化的清晰天空模型来预测直射和散射辐射。

2. 光伏板接收模型：计算光伏板在不同倾角下的瞬时辐射接收强度，需要包括余弦损失和大气吸收。

计算实现

1. 积分求解：对一天中的辐射接收强度进行积分，计算出每个倾角下的日总辐射能量。

2. 变量设定：光伏板的方位角固定为正南，倾角为20°、40°、60°。

问题2: 设计最大化日均总能量的光伏板朝向

参数选择与优化

1. 方位角和倾角的选择范围：方位角从-90°到90°，倾角从0°到90°。

2. 优化算法的选择：使用全局优化算法，如粒子群优化（PSO）或遗传算法（GA），寻找最优化的方位角和倾角组合。

目标函数与模拟

1. 目标函数定义：定义目标函数为日均总能量的最大化。

2. 模拟过程：模拟一年中不同日期的太阳辐射接收情况，计算平均值作为效果评估。

问题3: 综合考虑效率和储电量的最优朝向设计

多目标优化

1. 定义两个目标：一是储电效率（太阳直射强度在一定标准以上的时间最长），二是日均总能量的最大化。

2. 帕累托前沿：使用多目标优化技术，如NSGA-II，寻找最佳方位角和倾角的帕累托最优解。

效果评估与选择

1. 权衡不同目标：在效率和储电量之间进行权衡，选择在两者之间表现最佳的配置。

2. 模拟验证：模拟实际条件下的光伏板性能，确保理论上的最优配置能在实际应用中有效。

B题使用行车轨迹估计交通信号灯周期问题

某电子地图服务商希望获取城市路网中所有交通信号灯的红绿周期，以便为司机提供更好的导航服务。由于许多信号灯未接入网络，无法直接从交通管理部门获取所有信号灯的数据，也不可能在所有路口安排人工读取信号灯周期信息。所以，该公司计划使用大量客户的行车轨迹数据估计交通信号灯的周期。请帮助该公司解决这一问题，完成以下任务。已知所有信号灯只有红、绿两种状态。
1. 若信号灯周期固定不变，且已知所有车辆的行车轨迹，建立模型，利用车辆行车轨迹数据估计信号灯的红绿周期。附件 1 中是 5 个不相关路口各自一个方向连续 1 小时内车辆的轨迹数据，尝试求出这些路口相应方向的信号灯周期，并按格式要求填入表 1。
2. 实际上，只有部分用户使用该公司的产品，即只能获取部分样本车辆的行车轨迹。同时，受各种因素的影响，轨迹数据存在定位误差，误差大小未知。讨论样本车辆比例、车流量、定位误差等因素对上述模型估计精度的影响。附件 2 中是另外 5 个不相关路口各自一个方向连续 1 小时内样本车辆的轨迹数据，尝试求出这些路口相应方向的信号灯周期，按同样的格式要求填入表 2。
3. 如果信号灯周期有可能发生变化，能否尽快检测出这种变化，以及变化后的新周期？附件 3 中是另外 6 个不相关路口各自一个方向连续 2 小时内样本车辆的轨迹数据，判断这些路口相应方向的信号灯周期在这段时间内是否有变化，尝试求出周期切换的时刻，以及新旧周期参数，按格式要求填入表 3，并指明识别出周期变化所需的时间和条件。
4. 附件 4 是某路口连续 2 小时内所有方向样本车辆的轨迹数据，请尝试识别出该路口信号灯的周期。

问题1: 利用行车轨迹数据估计信号灯的固定红绿周期

数据分析

1. 轨迹数据整理：从附件中获取时间点、车辆ID以及车辆的位置坐标（X, Y），整理数据，以便于分析。

2. 轨迹标准化：将车辆的位置坐标转换为速度或停止时间信息。

数学模型建立

1. 速度分析：识别车辆的停止和移动模式，将停止视为可能的红灯，移动视为可能的绿灯。

2. 周期估计：通过分析各个车辆的停止-启动模式，统计所有可能的红灯和绿灯时长，采用统计分析方法（如峰值检测）来确定最常见的红灯和绿灯持续时间。

实施步骤

1. 提取特征：从每个车辆的轨迹中提取停车和启动的时间段。

2. 周期识别：利用聚类分析等统计方法来确定周期性，识别出最常见的周期。

问题2: 考虑样本不完整和定位误差的周期估计

模型调整

1. 样本量分析：评估不同样本量对周期估计的影响，理论上样本越多，估计越准确。

2. 误差模拟：模拟位置误差对车辆停止/启动时间的影响，评估误差对周期估计的干扰。

误差影响分析

1. 定位误差考虑：分析定位误差如何影响停止和启动的识别，可能需要引入一定的容错机制。

2. 统计方法调整：使用更健壮的统计方法来减少样本量不足和定位误差的影响，如加权平均或中位数统计。

问题3: 信号灯周期变化的检测与分析

变化检测方法

1. 时序分析：对连续两小时内的数据进行时序分析，识别出周期的变化点。

2. 周期变化识别：使用变点检测技术，如CUSUM控制图或Bai-Perron断点检测，来确定周期是否以及何时发生变化。

实施策略

1. 数据窗口处理：对时间序列数据应用滑动窗口，以识别不同时间段内的周期变化。

2. 多周期分析：如果存在多个周期变化，进行多次迭代分析，每次识别一个周期变化。

问题4: 复杂交叉口的周期识别

多方向数据处理

1. 方向区分：处理并区分不同方向的轨迹数据。

2. 综合分析：综合所有方向的数据，通过比较和分析不同方向的红绿灯模式来确定整个路口的信号灯周期。

周期同步分析

1. 同步性检验：检查不同方向的信号灯是否同步，如不同步则需分别处理。

2. 数据融合：将不同方向的周期数据进行融合，以得到更准确的周期估计。

C题基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模

光纤传感技术是伴随着光纤及光通信技术发展起来的一种新型传感器技术。它是以光波为传感信号、光纤为传输载体来感知外界环境中的信号，其基本原理是当外界环境参数发生变化时，会引起光纤传感器中光波参量（如波长、相位、强度等）的变化，即外界信号变化会对光信号产生调制。光纤传感器具有质地轻、体积小、弯曲性能好，抗电磁干扰能力强，灵敏度高，易于安装使用等优点。光纤传感技术最重要的是实时获得结构实时应变信息，再通过解调出来的应变参数来重构得到结构的形变或位移。光纤传感器已在许多领域有实际应用，比如能够对结肠部位进行形状重建等。通过光纤传感器解调系统解调出来的应变信息，间接求出曲率等信息，并基于离散曲率信息对曲线进行重构
为了便于波长测量，在生产光纤时，已在等间距位置布设好传感器，本次传感器间距为 0.6 米。在测量时，先在光纤水平状态（即初始状态如图 1所示）测量各个传感器位置处信号的波长，然后在受到外力后（如图 2 所示）
测量各个传感器位置处信号的波长。波长?与曲线曲率?之间的关系近似为? = c(? ?− 0 ?0),其中?0是水平光纤在初始状态下测量的波长，?是光纤在受到外力后测量的波长，?为某个常数，这里假设为 4200。本次实验分别测量了两组不同初始状态下受力前后的波长值，具体数据见表 1，并请解决如下问题。
问题 1.请根据表 1 给出的波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。进一步，假设初始点坐标为原点，初始的水平光纤方向为?轴，垂直方向为?轴，光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为 45 o，请建立模型估算下列表格中横坐标?轴相应位置处的曲率。
问题 2.请根据表 1 波长测量数据和问题 1 求出的曲率，构建数学模型，分别重构平面曲线，并分析曲线的特点。
问题 3.请根据平面曲线方程? = ? 3 + ?(0 ≤ ? ≤ 1)，以适当的等间距弧长采样，计算这些采样点的曲率。然后以采样的曲率为基础，构建数学模型，重构平面曲线，并分析重构曲线与原始曲线出现误差的原因。

问题1: 根据波长测量数据估算曲率

数据预处理

1. 波长数据解析：从表中提取初始和测试阶段的波长数据。

2. 曲率计算：使用给定的关系公式